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Capitolo nono 
di un certo numero N. Per il secondo termine, osserviamo 
che è ( 4 ) 
5 a(u) 4 b(u) 
\i du f v dv 
J 
(1 + [mf J (1 4- vvf' 
Q 
o 
dove è, per u—~-\- 0, a{u)\u—~y, b{u)\u~~0, e quindi b(u):a{u) —- 0. 
E siccome è 
a{u)-±b{u) 
v dv vb(u) b(u) 
(1 4- vvf [1 H- va(w)] [1 4- v j a(u) 4- b{u) | ] a(w)’ 
a(w) 
supponendo 5 sufficientemente piccolo affinchè, per 0 < u < 8, 
sia b(u) : r(r) < e, ne viene che il secondo membro della (5) è 
minore di 
Dunque, se § è preso in modo conveniente, la (4), dà, per ¡x 
e v entrambi maggiori di N, 
<W(a5, y) — 0(as, y) I < (2 4- ì¥tc 2 )s, 
e ciò dimostra la (3). 
Sempre ammettendo, per la funzione f(x, y), le ipotesi 
poste in a), e supponendo che E sia un insieme chiuso di 
punti di continuità per la f(x,y), la convergenza di o^ v (x, y), 
verso f(x, y), è uniforme in tutto E. Ed infatti, posto 
<D(a3, y) = f(x, y), potremo determinare il 8 della dimostrazione 
data in a), in modo che valga per tutti i punti di E; ed al 
lora dalla (2), tenendo presente la (4) del n.° 185, segue im 
mediatamente la continuità uniforme annunciata. 
In particolare, se la f(x, y), periodica e di periodo 2x rispetto 
ad x e ad y, è ovunque continua, a, X) v (x, y) converge verso di 
essa ovunque uniformemente. 
Osservazione. — Se f { {x,y) e f. 2 {x,y) sono due funzioni 
periodiche, di periodo 2n, rispetto ad a? e ad y, integrabili e 
soddisfacenti in Q alla condizione (L), e se esse coincidono in 
P) Vedi quanto si è detto nel n.° 62.