Serie doppie di Fourier 
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tutti i punti di un intorno del punto (x 0 , y 0 ), allora, per la- 
proposizione a), la serie doppia di Fourier della differenza 
f L (x, y) — f 2 (x, y) è sommabile, in (x 0 , y 0 ), col metodo della media 
aritmetica di Oesàro, e la sua somma, così ottenuta, è 0. Perciò 
le serie doppie di Fourier delle due funzioni sono, in [x 0 , y 0 ), 
ambedue sommabili col metodo detto, oppure ambedue non 
sommabili, e nel primo caso hanno la stessa somma. 
187. - Estensione del teorema di Lebesgue del n.° 62. 
a) I risultati del n.° 186, a), b), c), sono dei casi particolari 
della seguente proposizione : 
Se f(x, y) è una funzione data in tutto il piano (x, y), pe 
riodica, di periodo 2tu, rispetto ad x e ad y, integrabile e soddi 
sfacente, nel quadrato Q, cdla condizione (X), il suo polinomio tri 
gonometrico di Fejér, a [h Jx, y), converge verso <E>(a?, y), per ^ j — oo, 
in ogni punto in cui è 
(1) 
lini 
!—+o 
U V 
à,U Mu ’ vì 
o o 
du dv — 0, 
la cp(u, v) essendo definita dalla (1) del n.° 186 (*). 
Riprendendo P uguaglianza 
tt:2 7t:2 
y) — y) = ^ J j y( u ’ ^ 
0 0 
sen ¡JweWsen vv 
sen u / \ sen v 
du dv, 
del n.° 186, possiamo scrivere, per Q<o<7u;2, 
y) - *(*> y)=+4rvJ J l'S’* dv ’ 
0 0 
con 1,-0, per^j —oo, in forza del n.° 185, c). Abbiamo 
F) H. Geiìuvger, Trigonometrische Doppelreihen. (Monatshefte für Math, 
u. Physik, XXIX Jahrgang (1918), pp. 65-114). L’Autrice deduce, dalla pro 
posizione sopra riportata, che è a^, v — 1 >- f quasi-dappertutto, affermando che 
la (1) vale quasi-dappertutto, se in essa si pone <h{x, y) = f{x, y). Ma nes 
suno ha ancora dimostrato tale affermazione.