abbiamo dalla (4) per tutti i ¡1 e v, entrambi maggiori di 1:§
e sempre soddisfacenti alle disuguaglianze X < p : v < A,
Se ne conclude che, per tutti i p e v entrambi maggiori di
un certo N e tali che X < p : v < A, si ha
I y) — <h(a?, y) | < 2e(l -+- M),
e ciò prova che, al tendere di p e di v a oo, in modo che sia
sempre X < p ; v < A, è v (x, y) —+ <D(sc, y).
Per completare la dimostrazione, basta provare ora che,
fatto d>(cc, y) = f(x, y), la proprietà ammessa per il punto (x, y),
sopra considerato, risulta verificata in quasi-tutto il quadrato Q.
Osserviamo, a tal fine, che è
vi 'V u V
Jj I cp(w, v) I du dv < j J I f(x + 2u, y + 2v) — f{x, y) | du dv,
e che, utilizzando una nota proposizione sulla derivazione degli
integrali doppi ( l ), ed estendendo alle funzioni di due variabili
il lemma del n.° 61 ( 2 ), si ha che, fissato un p positivo e mi
nore di 1, in quasi-tutto Q l’espressione
X' y'
¿y J J | f{x-bx',y + y') — f(x, y) I dx' dy'
Ax'ÿ
-x' —y'
tende a \f(x, y) — f{x,y) | = 0, al tendere di x' e y' allo zero,
(q Cfr. per es., Ch. J. de la Vallée Poussin, Intégrales de Lebesgue,
fonctions d’ensemble, classes de Baire. (Paris, 1916).
p) li. ToNELLi, Sulla rappresentazione analitica delle funzioni di più
variabili reali. (Rend. Cire. Matem. Palermo, T. XXIX (1910), pp. 1-86).