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Capitolo nono 
in modo che sia sempre p <x!\y' < 1 :p. Perciò, fissato p come 
si è detto, in quasi-tutto Q vale la (3), per u e v tendenti a 
zero con la condizione p<iu\v<L 11 p. In corrispondenza di 
ciascun p, i punti di Q in cui non vale la (3) costituiscono 
un insieme E p di misura nulla. Se, quindi, diamo api va- 
lori l’insieme E dei punti appartenenti a tutti 
gli insiemi E±, E\, Ei,...., è anche esso di misura nulla; e 
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se (x, y) è un punto di Q non appartenente ad E, comunque 
si prenda p, positivo e minore di 1, la (3) risulta verificata, 
in tale punto, per u e v tendenti a zero in modo che sia 
sempre p <u'.v <Ll\p. 
Il teorema è, così, pienamente provato. 
§ 5. Complementi. 
188. - Determinazione della funzione mediante 1 coefficienti 
della sua serie doppia di Fourier. 
Dati i coefficienti della serie doppia di Fourier di una 
funzione f(x, y), integrabile in Q, è possibile formare con essi 
il polinomio trigonometrico di Fejér, a^ v (as, y), e se si suppone 
che la f(x, y) sia limitata, in Q, il teorema del n.° 187, ò), mo 
stra che, per p — oo, è 
y), 
in quasi-tutto Q. Dunque, la conoscenza dei coefficienti della 
serie doppia di Fourier di una funzione f(x, y), integrabile, 
permette di determinare, in quasi-tutto Q, la f(x, y), se questa 
funzione è limitata. Ciò avviene anche se la funzione non è 
limitata ; ma per trattare questo caso occorre considerare un 
polinomio trigonometrico dedotto dalla f(x, y) e distinto da 
<^ )V (£C, y), polinomio che studieremo nel n.° seguente. 
189. - Il polinomio trigonometrico di De la Vallèe Poussin. 
Considerata una funzione f(x, y), integrabile nel quadrato 
fondamentale Q, formiamo l’integrale 
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(1) P,(*,y) = fJ’j>(«,|S)