Serie doppie di Fourier 
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dove r è un intero positivo, ed è 
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(2) 
o 
L’integrale (1) è, evidentemente, un polinomio trigonome 
trico nelle variabili x e y, e dà 1’ estensione a due variabili 
di un integrale considerato e studiato, per la prima volta, da 
De la Vallèe Poussin (*). 
Ci proponiamo di dimostrare la seguente proposizione : 
In quasi-tutto il quadrato Q, è 
(3) 
lim P r (x, y) = f(x, y), 
e, precisamente, quest’ uguaglianza vale in tutti i punti interni 
a Q in cui, posto 
(4) cp (u, v) = f(x -+- u, y-\-v)-\- f{x — u, y-p v) -hf(x — u,y—v)~t- 
J- f(x -+- U,y — V)~ 4/(05, y), 
risulta 
o o 
In particolare, la (3) varrà in tutti i punti di continuità 
della f(x, y), interni a Q. 
Ponendo x — a = — u, x— § — — v, ed intendendo che fuori 
di Q la f(x, y) risulti definita mediante la periodicità, di pe 
riodo 2n, rispetto ad A3 e ad y, la (1) si scrive 
7T Tt 
P) Loc. cit. in ( 4 ) a pag. 356. Lo studio dell’integrale (1) fu fatto da 
F. Sibirani (Su la rappresentazione approssimata delle funzioni di più 
variabili ecc. Atti della R. Accad. delle Scienze di Torino, Voi. XLIV (1909), 
pp. 1-27) e da L. Tonelli (La formula di Parseval per le serie doppie di 
Fourier. Memorie della R. Accad. delle Scienze di Bologna, S. Ili, T. II 
(1924-25), pp. 53-60). 
( 2 ) L. Tonelli, loc. cit. in (1).