Serie doppie di Fourier 
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Ma è 
d> 2 (^, v) < <!>,( V u l -+- v 2 , \'u- -h v 2 ), 
e, per il modo con cui si è scelto a, il secondo membro è 
minore di e(ti 2 -hv 2 ), per tutti gli u e v di (0, a). Si ha dunque 
K 
CT cr 
(9) ^ j J* J*cp(u, v) cos-^ cos- ^ dw dv 
, r w , r v 
2 - ' nr\ C? _ 
0 0 
/q. x ,„a 
< -g a ) C0S ' 2 
J J (u 2 -+- v 2 ) 
d , r M d v, , 
— cos-’ cos-’ a dudv. 
du 2 dv 2 
o o 
Per ogni r maggiore di un certo r 2 , è 
(10) 
È poi 
ìi 
j a) cos 2 ’’ 2 < e. 
JJ [u 2 -\-v 2 ) ^ cos 2r ^ cos 2r | dw dv = 2J j % 2 cos 2r ^ cos— s du dv 
0 0 
0 0 
< 
d-M 
d^i 
2 dv 
2 jj ••••=- 2 J w! s C08S Ì 
0 0 0 
7T 71 
4J w cos 2r ^du < 16 J sen ~cos— ^d% 
32 
2r 4-1 
0 0 
Di qui e da (9) e (10), segue, tenendo presente la (7), 
hi 
j Jep(u, v) cos 2 ’’ ^cos— ^ du dv j < e(l -+ 
0 0 
Si ha dunque, in virtù della (6) e della (8), 
! Pr{x, y) — f{x, y) \ < £ (2 + , 
per ogni r maggiore del più grande dei numeri r i e r 2 ; è 
pertanto P r (x, y)—~f(x, y), in ogni punto (x, y), interno a Q, per 
il quale vale la (5).