506 
Capitolo nono 
Se ora osserviamo che la (5) è verificata in quasi-tutto Q (*), 
la proposizione enunciata resta provata completamente. 
190. - Sviluppo di V r (x y y). 
Abbiamo già osservato, nel principio del n.° precedente, che 
P r {x, y) è un polinomio trigonometrico. Diamo ora l’effettivo 
sviluppo di P r (x, y). 
Consideriamo la formula, facilmente verificabile ( 2 ), 
cos 2r ^ cos 2r ^ = p r S S X W}M r r; m>n cos mu cos nv, 
- 1 - 1 m—0 n—0 
dove è 
' 1, se m — n — 0, 
Y, se m — 0, n > 0, 
Y, se m >0, n = 0, 
r(r — 1).... (r — m -+-1) r(r — 1).... [r — n -f-1) 
se m >0, n > 0, 
(r -\- l)(r 4- 2).... (r + m) (r -h 1 )(r 4- 2)....(r 4- n) 
t 1 ) Cfr. quanto si è detto alla fine del n.° 187. 
( 2 ) Dalla formula 
innalzando alla potenza 2r ed uguagliando fra loro le parti reali, si ottiene 
cos (r — 2)u -+-... 
ed anche, riunendo i termini equidistanti dagli estremi, 
(r 4- 1) (r +- 2) 
cor 2w + 
r(r — 1) .... 1 
+ (r -f- l)(r + 2[TXT2r 
cos ru