Serie doppie di Fourier 
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e dove X Mlj M ha il significato indicato dalla (2) del n.° 162. 
Ponendo, nella formula scritta, u = x — a, v = y — ¡3, sosti 
tuendo nell’ espressione di P r (x, y) data dalla (1) del n.° 189, 
e ricordando le formule (3) del n.° 162, che dànno i coeffi- 
centi a m , „, 6 m , M , „, d m ,„, della serie doppia di Fourier 
della f(x, y), otteniamo 
r 
r 
(2) P r (x, y) = S 2 „ T r . m , „ [a mì n cos mx cos ny 
-+- ò m> „ sen mx cos ny „ cos mx sen ny sen mx sen ny], 
perchè è ( J ) 
n~h 2 r pl 1 2r(2r — 2) ....4-2 2 (2r)!j 2 
~'4~ “ |2*(2r— l)(2r—3)....3-1*2^ (r!fj = lm 
La formula (2) mostra che, conosciuti i coefficienti a m ,n, 
bm, n, Cm, n, dm, n , si costruisce immediatamente il polinomio 
trigonometrico P r (x, y) ; e siccome, per il teorema del n.° 189, 
è, in quasi-tutto il quadrato Q, P,(x, y)—~f(x, y), quando r—oo, 
ne viene che la conoscenza dei coefficienti della serie doppia 
di Fourier, della funzione f(x, y), è sufficiente per determinare 
la f(x, y) in quasi-tutto il quadrato Q. Il polinomio trigonome 
trico P r (x, y) dà il mezzo per 1’ effettiva determinazione della 
f{x, y). 
191. - Condizione d* integrabilità di f~{pc, y). 
a) Supponiamo che la f(x, y), supposta integrabile nel 
quadrato Q, sia tale che risulti integrabile anche il suo qua 
drato. Considerata allora la serie doppia di Fourier di tale 
funzione e la somma parziale s [h v (x, y) di questa serie, abbiamo, 
dallo sviluppo dell’ integrale 
Q 
che vale la disuguaglianza 
P) Si tenga conto del valore di h r calcolato in (q a pag. 503.