Serie trigonometriche generali 65 
la serie trigonometrica 
(2) g «o -+- («ì cos x 4- 6i sen a?) 4-.... 4- (a M cos me 4- b n sen nx) 4-.... 
converge in quasi-tutto (0, 2tc). 
Questo teorema è dovuto ad A. Kolmogoroff e G. Seliver- 
stoff (*), e ad A. Plessner ( 2 ) ; la convergenza della (2) in quasi- 
tutto (0. 2n), sotto la condizione della convergenza della serie 
S (al 4- 6i)(l°g nf, era già stata assicurata da un teorema di 
G. H. Hardy ( 3 ) ; la medesima convergenza, nell’ ipotesi della 
convergenza di S (a 2 n 4- 6|)(log n) i+i , con e > 0, era stata dimo 
strata dagli stessi Kolmogoroff e Seliverstoff ( 4 ). 
Essendo, per ipotesi, convergente la serie (1), possiamo 
(in infiniti modi) costruire una funzione w(ìc), positiva, crescente 
costantemente e tendente all’ infinito, e tale che : 1°) risulti 
convergente anche la serie 2 (cì 2 n 4- &n)0°g n ) <0 ( n ) 5 2°) posto 
n—2 
An — 
A ' — 
\u>(rì)\ogn Vw(w 4- 1) log (n 4- 1) ’ 
An A^-f-1 J 
tutte le A n ' risultino positive. Allora, la serie 2 nA n ' è formata 
2 
da termini tutti positivi e risulta convergente. È, infatti, 
2 nA n ' = SA m '4-S 2 A n ' 
2 2 r—2 n—r 
(A2 A w _|_i) 4- 2 (Af A m \ 1) j 
r=2 
ed essendo A n ' > 0, è anche A r — A m+i > 0 per r = 2, 3,...., m, 
(h Loc. cit. in (‘) a pag. 59. 
( ä ) lieber Konvergenz von trigonometrischen Reihen. (Journal für Mathe 
matik, Bd. CLV (1925), pp. 15-25). 
( 3 ) On the summability of Fourier ’s sériés. (Proc. London Math. Soc. (2), 
vol. XII (1913), pp. 365-872). 
( 4 ) Sur la convergence des séries de Fourier. (Comptes rendus, t. CLXXVIII 
(1924), pp. 301-303). 
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