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Capitolo primo 
niente in ogni intervallo di (0, 2u) non contenente i punti tu : 2 e 
37t : 2, ed è poi convergente anche in tali punti. 
Per esempio, la serie, di Eulero e Fourier, 
1 g 1 - 
eos x — 5 cos óx 4- = eos ox — .... 
o O 
converge ovunque, e la convergenza è uniforme in ogni intervallo della 
specie sopra indicata. 
Considerazioni e risultati del tutto analoghi ai precedenti 
valgono per la serie di seni. Per questa deve osservarsi che, 
se si vuole ottenere, applicando la trasformazione di Brunacci- 
Abel, una nuova serie di seni o di coseni, è necessario aggiun 
gere un termine complementare alla serie, ciò che non altera 
la convergenza o divergenza della serie medesima. In virtù 
delle formule (3') e (4') del n.° 11, si vede che basta aggiun 
gere il termine —ì c °tg oppure — -^tg^, secondo che si 
vuol giungere alla serie avente per coefficienti le differenze 
a n — a n+ 1, oppure le somme a n +fl H+1 . 
16. - Serie ovunque uniformemente convergenti. 
Abbiamo già osservato, nel n.° 10, che, se converge la serie 
2 {| a n | | b n j}, la serie trigonometrica 
~ a 0 d- S (a n cos nx -+- b n sen nx) 
converge ovunque uniformemente. Esistono, però, delle intere 
classi di serie trigonometriche ovunque uniformemente con 
vergenti ma non convergenti assolutamente. 
a) Una di tali classi risulta dal seguente teorema, dovuto 
a T. W. Chaundy e A. E. Jolliffe (*). 
Se b n è un numero positivo, non mai crescente col crescere 
di n, e tale che sia nb n -~ 0, la serie 
(1) b i sen x-\-b 2 sen 2x -+- b 3 sen Sx -+- .... 
converge ovunque uniformemente. 
(i) The uniform convergence of a certain class of trigonometrical series. 
(Proceedings of the London Mathematical Society, s. II, vol. XY (1916), 
pp. 214-216).