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Capitolo primo 
Se è n <C — ecl anche p < —, si ha 
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(A/ tAy 
16 n sen nx q-.... -f- b p senpx | < x(nb n q-.... -f-pb p ) < xMp < M, 
e la (2) è ancora verificata. 
Se è, infine, n < — e p > —, indicato con «' il massimo in- 
' ' /yi rv* y 
tAy tAy 
tero contenuto in l:as, abbiamo, tenendo conto di quanto pre 
cede, 
| b n sen nx q- .... q- b p senpx | <; | b n sen nx q-.... q- b p > sen p'x \ 
q-1 b P ' +l sen (p' -f- 1)ìc q-.... q- b p sen px | < M q- Mn, 
e la (2) è così verificata in tutti i casi, per 0 < x <T n. 
Per x—0, x—u, x=2n, la (2) è poi evidente; per n <x <2tc, 
posto x' = 2tc — x, abbiamo 0 < x' <1 n e sen rx — — sen rx', e 
perciò, per quanto abbiamo già dimostrato, 
| b n sen nx q- .... q- b p sen px \ — | b n sen nx' q-.... q- 
q- sentir/1 < M{ 1 -h tu). 
Il lemma enunciato è, pertanto, dimostrato completamente. 
In virtù di questo lemma, e poiché, preso ad arbitrio un 
e > 0, si può determinare, per l’ipotesi nb n —~0, un m tale che, 
per qualunque n ;> ni, sia nb n <C e, ne viene 
| b n sen nx q- .... q- b p sen nx | < e(l q- ti), 
per tutti gli interi n^m e p>.n, e per tutti gli x, vale a 
dire, ne viene la convergenza uniforme della (1) in qualsiasi 
intervallo. 
Ossebv azione. — Se teniamo conto di quanto è stato sta 
bilito nel n.° 8, deduciamo che ogni serie (1), soddisfacente alle 
condizioni del teorema ora provato e per la quale, inoltre, 21 b n 
risulti divergente, converge ovunque uniformemente, ma con 
verge assolutamente soltanto nei punti congrui a zero secondo 
il modulo n. 
Per esempio, la serie 
OO 
^ sen nx 
nlogn 
soddisfa alle condizioni del teorema qui dimostrato e, pertanto, converge