Serie trigonometriche generali 
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e questa nuova serie converge (n.° 15, 6)) in tutto (0, 2rc), esclusi 
i punti ^ e — , nei quali diverge. Ne deduciamo che, per 
u u 
71 3t£ 
z = e ix e per ogni x di (0, 2n), eccettuati ^ e converge 
anche la (5). Ora, nell’ interno del suo cerchio di convergenza, 
cioè per |s] < 1, la (5) rappresenta la funzione arctg z, e pre 
cisamente quel ramo di questa funzione che, per 0 = 0, dà 
arctg 0 = 0. Per il teorema di Abel, già rammentato, abbiamo 
dunque che la somma della serie (5), nei punti z = e ix , eccet- 
. 7T ^ 37T 
tuati e 2 = ¿ ed e 2 = — z, è data da arctg e ix . Per calcolare 
la parte reale ed il coefficiente della parte immaginaria di 
arctg e ix , rammentiamo la formula 
arctg z = 
1 
2 z 
log 
1 -+-zs 
1 — iz 
ossia 
arctg z = 
2i 
log; 
1 -+■ iz 
1 — iz 
i arg 
1 4~ÌZ 
1 — iz 
+ 
B poiché dobbiamo prendere, di questa funzione multiforme, 
il ramo che si annulla per z — 0, sceglieremo per arg 
l’angolo compreso tra — ti e ti, secondo estremo escluso, e 
k = 0 ; dunque : 
(7) 
arctu z 
-2 log 
1 -H iz 
1 — iz 
+ h Te 
1 iz 
1 — iz' 
Fatto z — e ioa , la parte reale di arctg z è perciò 
1 1-f-ie lx 1 1 — senas) +■ zcosx 1 z cosas , ti 
h aro - . . = 3 arg h ; : = s arg = ± . , 
2 & 1 — ie lx 2 (1 senas) — z cosas 2 1-4- sen as 4 
prendendo il segno + se è cos as >• 0, il segno — se è cos as < 0. 
Abbiamo così : 
cos 3as cos 5as 
cos as — —g 1 g— 
T , se 0 < as 
4 — 
— se^-<as<Y 
re 3tt -, 
ñ opp. se < as < 2tc , 
L ¿ 
3tu