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Capitolo primo 
Per as = rfc^, la serie ha il valore 0, valore che è la semi- 
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,. TU TZ 
somma di -p e — -r • 
4 4 
Possiamo avere anche la somma della serie (6). Essa è data 
dal coefficiente della parte immaginaria di (7), cioè da 
1 ie i0G 
1 — ie ix 
1 , \ l COS X 
n log 4 
2 1 + sen x 
3tc 
dunque, per x diverso da ^ e da -r- , 
u u 
sen Sx sen 5x 1, 
sen x g 1 g .... = — g log 
1 cos 2 a? 
4 (1 -f- sen xf * 
c) Il metodo impiegato in a) e 6) per sommare le serie 
trigonometriche, il quale, pur senza tutte le dovute precauzioni, 
fu usato già da Eulero e da Lagrange, consiste dunque : 1°) nel 
trovare la serie di potenze di cui la serie trigonometrica data 
è la parte reale od il coefficiente della parte immaginaria, sulla 
circonferenza di raggio 1 e centro l’origine ; 2°) nel determi 
nare la funzione che rappresenta la somma della serie di po 
tenze trovata, nell’ interno di tale circonferenza ; 3°) nel provare, 
quando il raggio di convergenza della serie di potenze è uguale 
a 1 (come avviene precisamente negli esempi considerati), che 
la serie di potenze converge nel punto della circonferenza 
di convergenza in cui si vuole eseguire la somma della data 
serie trigonometrica (ciò che può risultare dal poter verificare 
la convergenza simultanea delle due serie trigonometriche che 
danno la parte reale e il coefficiente di quella immaginaria 
della serie di potenze medesima, oppure dall’ applicare un noto 
teorema di Fatou sulle serie di potenze ( 1 |) ; 4°) nel calcolare 
P) Il teorema di Fatou, cui abbiamo accennato, è il seguente : 
Se la serie di potenze a () t- a { s -t- a%z- u .... ha il l'aggio di convergenza 
uguale ad 1, ed è a n — 0, la serie converge in ogni punto regolare del cer 
chio di convergenza. (P. Fatou, loc. cit. in P) a pag. 22). M. Riesz (Ueber 
einen Satz des Herrn Fatou. Journal fiir Matliematik. Bd. CXL (1911), pp. 
89-99) ha, inoltre, osservato che la convergenza è uniforme in ogni arco del 
cerchio di convergenza tutto costituito di punti regolari. 
COS X 
1 + sen x