Serie trigonometriche generali 
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la parte reale od il coefficiente della parte immaginaria della 
funzione determinata, nel punto che interessa. 
§ 3. Condizione necessaria e sufficiente di conyeroenza. 
21. - Serie trigonometriche uniformemente convergenti. 
Teorema di Eulero-Fourier. 
Riemann determinò la condizione necessaria e sufficiente 
affinchè una serie trigonometrica sia convergente in un dato 
punto, riconducendo la convergenza della serie all’ esistenza 
del limite di un determinato integrale. Per giungere a tale 
risultato, occorre premettere tre proposizioni, la terza delle quali 
(che daremo al n.° 23) è pure dovuta a Riemann. 
Se la serie 
(1) ^ ¿C + ^cos se 4- sena?) -{- .... •+■ (a n cosnx-\-b n senwa?) q- .... 
converge uniformemente in (0, 2tc), detta S{x) la sua somma, si ha 
(2) ct>n 
2 71 
cos nxdx, h r 
2tt 
U' s(x) 
sen nx dx. 
Infatti, per la supposta convergenza uniforme della (1) alla 
iS'(cc), abbiamo 
271 
2tt 
2tt 
cos nx dx = g a 0 | cos nx dx 
J 
£>J' 
0 c 
2tt 
-F h r j sen rx cos nx dx^, 
cos rx cos nx dx 
e questa uguaglianza, in virtù delle formule (3) e (4) del n.° 18, 
si riduce a 
27: 
J S(x) cos nx dx = 7i:a n , 
o 
vale a dire, alla prima delle (2). Nello stesso modo si dimostra 
la seconda delle (2).