Serie trigonometriche generali 
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(a, b), in numero finito qualsiasi, a — x Q < < x 2 < .... < x n — b> 
si abbia sempre 
n—1 
22 I f(x r +1) — f{x r ) I < il/. 
Rammentiamo pure che condizione necessaria e sufficiente af 
finchè la f(x) sia a variazione limitata in (a, b), è che possa 
scriversi, in tutto (a, b), 
f(x) — p{x) — q{x) 
con p(x) e q{x) funzioni positive o nulle e non mai decrescenti 
(o non mai crescenti) in tutto (a, 6). Si sa, inoltre, che se la 
funzione f(x) è continua ed ha derivata limitata in (a, b), è, in 
questo intervallo, a variazione limitata. 
Ciò premesso, dimostriamo la proposizione seguente : 
Se f(x) è una funzione a variazione limitata, in un dato in 
tervallo (a, b), si può determinare una costante positiva c in modo 
che sia, per ogni intero positivo n, 
b 
a 
b 
(2) 
sen nx dx 
n 
a 
Poiché f(x) è a variazione limitata, potrà scriversi f(x) —p(x) — 
— q(x), con p{x) e q{x) funzioni positive o nulle, non mai de 
crescenti in tutto (a, b). hle verrà quindi 
b 
; j f(x) cos nx dx < 
jp{x) cos nx dx -f- J\(x) cos nx dx 
b 
b 
a 
a 
a 
ed applicando il 2° teorema della media, 
b 
b 
cos nx dx 
a' 
—- sen nb — sen noti -b ^ 
n n (*) 
sen nb — sen na" < 
c 
n 
(*) H. Lebesgue, Leçons sur les séries trigonométriques, p. 45.