Preso ad arbitrio un s > 0, scegliamo un p, tale che sia
l;p t <e e che, per ogni w>p t , sia ¡a M | + |6 w |<£. Sia ora p>2p t
e scindiamo la serie 2' in due parti, 21' e 2' . Abbiamo :
n—1 w>[j. : 2
p n p
< 8e £^< 16e -
Dunque l’espressione (10) è minore di e j I | cp j da -e 8A +16 j,
IJ' )
C
per ogni p > 2p 1? e così anche la seconda parte del 2° membro
di (8) tende a zero per p—-oo. Con ciò risulta provata la (6).
Lo stesso ragionamento prova anche la (7), e ne risultano
dimostrate le (5), che si deducono dalle (6) e (7) moltiplicandole
rispettivamente per cos роз e sen раз e sommandole, oppure mol
tiplicandole per sen раз e cos раз e sottraendole. Siccome, poi,
i primi membri di (6) e (7) non contengono la аз, la convergenza
a zero dei primi membri delle (5) è uniforme in tutto (0, 2n).
1
Osservazione. — Se è p
m, oppure p = m 4- con m
intero, ed è d — c -h 2tz, il lemma precedente sussiste anche se,
in luogo delle (4), valgono le cp(c) = cp| d), cp'(c) == cp'(d), oppure
le cp(c) =— y{d), cp'(c) == — y\d), rispettivamente. Infatti, vale
allora la (8) e quindi resta valido tutto il ragionamento che
ne segue.
c) Supposto a n — 0, b n — 0; supposto che la funzione y{x)
sia definita e continua in (c, d) ; supposto che in tutti i punti
di (c, d), esclusi al più alcuni di essi in numero finito, esista
finita la derivata prima cp'(a3) ed essa sia a variazione limitata