§ 4] auf Grund empirischer Werte g7 
tung von [q/] 2 bei gegenseitiger Unabhängigkeit der Variablen X und Y 
genau (ic beträgt, aber es ist mir bis jetzt nicht gelungen, den 
Nachweis zu liefern. Wäre dies tatsächlich so, so hätte man wenigstens für 
den Pall der gegenseitigen Unabhängigkeit von X und Y durch den Ab 
zug von ^ vom Werte von [V] J einen empirischen Ausdruck 
erhalten können, dessen mathematische Erwartung dem Werte von <p 2 
unter dieser Annahme genau gleich wäre. ’ 
In ähnlicher Weise läßt sich die Streuung von [<p]' berechnen. Im 
allgemeinen Falle eines beliebig gestalteten Abhängigkeitsgesetzes fin 
den wir: 
N 
22^- 
i j F i\ y \j 
«2 
V. 
L »i 
^ J 
>2 
lg 
'S 1 AJ 
" v s 
+22 
p. 
i\ 
pl pf 
¿¿mmJ Y) 
\j \/=i Vi 
2 
S p! 
i\g 
' + • 
Im Falle der gegenseitigen Unabhängigkeit der Variablen X und Y 
verschwindet in das Glied der Größenordnung Die Streuung 
von [<jp f ] ist demnach bei gegenseitiger Unabhängigkeit der Variablen 
von der Größenordnung und der mittlere Fehler von [cp'j — von 
der Größenordnung • 
D. In gleicher Weise lassen sich die mathematischen Erwartungen 
aller derjenigen Funktionen der empirischen Werte berechnen, die durch 
das Einsetzen der Häufigkeiten an die Stelle der Wahrscheinlichkeiten 
in die Formeln, welche die apriorischen Größen definieren, gebildet wer 
den. Die Rechnungen sind meistens sehr umständlich — namentlich 
wenn man sich mit der Berechnung des Gliedes der Ordnung ^ nicht 
.begnügt —, aber bieten keine besonderen Schwierigkeiten, selbst wenn 
höhere Genauigkeit angestrebt wird. Bloß darf man nicht außer acht 
lassen, daß die mathematische Erwartung einer ungeraden Funktion 
der Differenzen dp^ usw. stets Glieder derselben Größenordnung in 
^ enthält, wie die mathematische Erwartung der nächst höheren ge 
raden Funktion, so daß man beim Streben nach höherer Genauigkeit 
stets einen doppelten Schritt zu machen hat, indem man in der Reihen 
entwicklung nach den Potenzen der Differenzen dp f| usw., außer den 
nächstfolgenden ungeraden, auch die auf dieselben folgenden geraden 
Glieder heranzieht. Durch Nichtbeachtung dieser Vorschrift haben sich 
die englischen Statistiker gelegentlich schwerwiegenden Fehlern aus- 
gesetzt. 
8. Die mühsamen Kalkulationen lassen sich in vielen Fällen etwas 
‘vereinfachen dadurch, daß man statt der Differenzen der Häufigkeiten