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§4] auf Grund empirischer Werte 
die mathematischen Statistiker ein unbeschränkt weites Betätigungs 
feld offen, auf welchem namentlich die Anfänger die Schulung der eige 
nen Kräfte mit der Erzielung von wissenschaftlich wertvollen Ergeb 
nissen in höchst dankbarer Weise verbinden können. 
Jede noch so weit gehende Vervollkommnung der Reihenentwicklung 
nach den Potenzen von ~ wird jedoch vor der Schranke haltmachen 
müssen, welche die Forderung, daß die Zahl der Versuche groß sei, 
darstellt. Auf Fälle, wo N nicht groß ist, läßt sich diese Methode über 
haupt nicht anwenden. Gelegentlich gestalten sich die Schranken ihrer 
Anwendbarkeit noch enger. Vielfach schreiten nämlich die betreffen 
den Reihen nicht nach den Potenzen von ^, sondern nach den Potenzen 
von oder von usw., so daß gefordert werden muß, daß die 
Zahlen der Wiederholungen der verschiedenen möglichen Werte von 
X und Y und ihrer verschiedenen Kombinationen groß seien und nicht 
erst die Gesamtzahl der Versuche. Bei größeren Wahrscheinlichkeiten 
p p i] . usw. kommt freilich der Unterschied praktisch kaum in Be 
tracht. Aber bei kleineren Werten der Wahrscheinlichkeiten kann er 
doch erheblich werden. Und im Bereiche des sogenannten Gesetzes der 
kleinen Zahlen, d. h. bei so kleinen Wahrscheinlichkeiten, daß das Pro 
dukt Np bei unbegrenzt wachsendem N einem endlichen Grenzwert 
zustrebt, versagt die Methode der Reihenentwicklung nach den Potenzen 
von vollends. Will man in solchen Fällen ein Urteil über die Zuver- 
Np 
lässigkeit unserer Verfahren zum Schätzen der apriorischen Größen 
auf Grundlage des empirischen Materials bilden, so muß man sich nach 
anderen Untersuchungsmethoden umsehen. 
Zur Überwindung der Schwierigkeiten, welchen die Berechnung der 
mathematischen Erwartungen der Quotienten begegnet, kann man 
hierbei unter Umständen folgendes Verfahren mit Vorteil anwenden. 
Es seien Z' und W' zwei ganze rationale Funktionen der empirischen 
Werte der Variablen X und Y, und die zur Schätzung der uns inter 
essierenden apriorischen Größe zu verwendende Funktion ZF sei dem 
Quotienten von Z' durch W' gleich: Bezeichnet man mit C 
eine Konstante, so hat man identisch: 
1 1 iv' — c _ 1 w’ — c (w r — c) 2 _ 
w 1 c cw' c c 2 c 2 w' 
und r i_ = Ep _ E z' K - c] , 1 r z ’\> f -c] 2 . 
*— w' c c 2 c 2 *— w' 
Sind nun alle möglichen Werte des Quotienten positiv oder gleich 
0 (bzw. < 0), was in vielen in Betracht kommenden Fällen zutrifft, so