§5] 
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auf Grund empirischer Werte 
§ 5. 
Die nähere Betrachtung der mathematischen Erwartungen der Funk 
tionen der empirischen Werte, welche der Schätzung der apriorischen 
Maßzahlen zugrunde gelegt werden, hat gezeigt, daß die Schätzung fast 
ausnahmslos mit einem systematischen Fehler behaftet ist, der bald 
nach der einen, bald nach der anderen Seite ausschlagen kann, so daß 
der gesuchte Wert bald systematisch überschätzt, bald systematisch 
unterschätzt wird. Bei der Beurteilung dieser theoretischen Ergeb 
nisse vom Standpunkte der Praxis der statistischen Korrelationsfor 
schung kommt es nicht so sehr auf das Vorhandensein wie auf die mög 
liche Größe des systematischen Schätzungsfehlers an, und zwar vor 
allem auf die relative Größe des systematischen Schätzungsfehlers im 
Vergleich zum mittleren Fehler der betreffenden Funktion der empi 
rischen Werte. Nur w'enn der systematische Schätzungsfehler von der 
Größenordnung des mittleren Fehlers ist, wird seine Nichtbeachtung 
auf die Ergebnisse der Forschung wesentlich störend einwirken. 
Von diesem Gesichtspunkte aus betrachtet, fallen die Ergebnisse der 
theoretischen Untersuchungen der systematischen Schätzungsfehler ver 
hältnismäßig günstig aus. Mit zunehmender Versuchszahl nehmen die 
systematischen Schätzungsfehler, wie wir gesehen haben, schnell ab. 
Nur bei geringen Versuchszahlen können sie schwerer ins Gewicht fallen. 
Aber bei geringen Versuchszahlen sind auch die mittleren Fehler groß. 
Von besonderer Bedeutung ist der Umstand, daß der systematische 
Schätzungsfehler in der Regel von der Größenordnung y and der mitt- 
lere Fehler von 
der Größenordnung 
ist, so daß bei einer einiger 
maßen erheblichen Versuchszahl N der systematische Fehler als gering 
im Vergleich zum mittleren Fehler zu gelten hat. Man betrachte z. B. 
näher die mathematische Erwartung des empirischen Korrelations 
koeffizienten im Falle der normalen Korrelation. Der systematische 
Fehler ist in diesem Falle, innerhalb der Grenzen unserer Approxima 
tion, stets negativ und gleich 
r i 11 [ x — r i i i] 
2 N 
und der mittlere Fehler ist in 
der ersten Annäherung gleich 
1-rf 
V N 
Bei nicht sehr großen Versuchs 
zahlen kann der systematische Schätzungsfehler nicht unerheblich sein: 
N muß z. B. größer als 20 sein, damit man sicher sei, daß die zweite 
Dezimale durch den systematischen Schätzungsfehler nicht getroffen 
wird. Aber der mittlere Fehler ist stets erheblich größer: das Verhält 
nis des systematischen zum mittleren Fehler ist gleich l l ^. Bei N = 20 
r 111 
'VN 
muß der apriorische Korrelationskoeffizient 3 / 4 erreichen, damit der 
mittlere Fehler nicht von der Größenordnung der ersten Dezimale sei.