§1]
der Korrelationsmessung
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und der roten Zahlen auf den in der Urne enthaltenen Zetteln charakte
risieren, auf Grundlage der Zahlen, welche auf den gezogenen Zetteln
stehen, in der uns bekannten Weise zu schätzen; zur Schätzung des
apriorischen Korrelationskoeffizienten w'ären z. B. die Formeln des
§ 4, 3. A. des Sechsten Kapitels zu verwenden:
fE r i,i
(!) *
r 2|2 r i!l+"8 r i|l[ r 4|O+ r 0|J — y[ r3 l 1+r H3]}+---
r i 11C 7 BI r i\ 3] ^ 4~ r i 11 C r 4:1 r otJ }
Falls aber die gezogenen Zettel in die Urne nicht zurückgelegt werden,
lassen sich die mathematische Erwartung und die Streuung des empi
rischen Korrelationskoeffizienten vermittelst dieser Formeln nicht be
rechnen. Die in diesem Falle geltenden Formeln müssen für sich ab
geleitet werden.
Die Ableitung kann in derselben Weise geschehen wie im Falle der
gegenseitigen Unabhängigkeit der Versuche. Man geht, wie oben (vgl.
Sechstes Kapitel, § 4), von der Entwicklung von r' 1]t nach steigenden
Potenzen der Differenzen dp[^, dp'^ usw. bzw. der Differenzen
dp" n usw. aus; dann geht man in gleicher Weise zu den mathemati
schen Erwartungen über. Die mathematischen Erwartungen der ver
schiedenen Potenzen von dp[ xj , dp' i{ , dm[ n , dp" n usw. gestalten
sich jedoch in beiden Fällen verschieden. Werden in die Reihenentwick
lung von Ej/i 11 diejenigen Werte der mathematischen Erwartungen ein
gesetzt, welche dem Schema der nicht-zurückgelegten Zettel entsprechen,
so erhält man an Stelle der Formeln (I):
/ r- , A-N 1 f 1 3 r -1 1 _ J,
(EUll-Ull+l-l jf ( 4 r 2|2 r i|l + 8 r HlE4|0 +r 0| J 2 C r 3ii' 4_r u sl J -h *' ‘
( n )) 2 A-N 1 I Ti 1 2 1 r , n , 1 o r , „ -1 ] ,
[ jy| r 2 | 2 [l + 2 r mJ r i|lE 3 |l +r if3] + 4 r i (1^410+^014]}
Wir sehen, daß sowohl der systematische Schätzungsfehler wie die
Streuung von rj (1 durch das Vorhandensein einer derartigen Verbunden
heit zwischen den Versuchen im Verhältnisse von A — N zu A — 1
reduziert werden im Vergleich zum Falle der unverbundenen Versuche:
die mathematische Erwartung von r' in unterscheidet sich weniger von
dem apriorischen Werte r t (1( und der Spielraum der zufälligen Schwan
kungen ist gleichfalls geringer. Dank der Verbundenheit der Versuche
wird durch den empirisch-zufälligen Wert von r' in mit größerer Ziel
sicherheit ein der wahren Größe von r in näher liegender Wert getroffen.
Man nehme anderseits an, daß der gezogene Zettel in die Urne zu
rückgelegt wird, bevor die nächste Ziehung stattfindet, und zugleich
noch ein Zettel in die Urne gelegt wird, auf welchem dieselben Zahlen
mit schwarzer und mit roter Tinte eingetragen sind, wie auf dem eben
gezogenen Zettel, — „Ziehungen mit Hinzulegen“ werde ich dieses Schema
Tschuprow, Korrelationstheorie 8