Kap. 6]
Anhang
129
x = 0
N
-2
1 • 2 .. (x — 1) x
N(N-l)--- (N—x +1)
v’ (l-p) y -’ =
1-2... (*-1)
»*2
(N-1) •• (iV-x + 1)
1 • 2...(x-l)
P* (1 —P)
iV-z.
substituiert man hier t -f-1 für x, so wird
N-1
(Y-l)
= Np ^
1-2...#
iiV-1
= ^2? [p + (l — p)]" 1 =Np.
Bei Ziehungen ohne Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit, bei N
Ziehungen x weiße Kugeln zu ziehen, falls die Urne B ~Ap weiße und
C = A (1 — p) schwarze Kugeln enthält, gleich
p __ N (N— 1) • • -(N-x + 1) B(B-l)---(B-x + l)C(C-l)--.(C-N+x+l)
1 ■ 2... x
A(A-1)...(A-N+1)
wobei ^¡P = 1 ist. In gleicher Weise, wie oben, findet man
E n=]?P x x =
MW-D
(A-xd- 1) (B-1)- • • (B-x + 1) C(C-1) • • • (C-Y+xd-1)
(A-1)...(4-AT+1)
(N-t) (B-l)---(B-t) C{C-l)---(C~N+t+2)
= Np;
A 1 -2... (x-1)
z = l v
iV-1
= Nyy ( *-Jl-
1-2... t (4-1) ..(4-JV+l)
denn die Summe, mit welcher Np multipliziert wird, ist nichts anderes,
als die Summe der Wahrscheinlichkeiten, 0, 1, 2, . . ., N—1 weiße
Kugeln zu ziehen bei N — 1 Ziehungen ohne Zurücklegen aus einer
Urne, welche B — 1 weiße und C schwarze Kugeln enthält.
Beachtet man, daß x 2 = x(x — 1) -\-x ist, so erhält man in ähn
licher Weise bei Ziehungen mit Zurücklegen
En 2 -^P x x 2 =N(N~l)p 2 +Np = N 2 p 2 +Np(l-p)
und hieraus
s » = E[y-E^] = Ep-r=^p(i-p)
und bei Ziehungen ohne Zurücklegen
NB N
A ~ A{A
und hieraus
r- 2 NN-l)B(B-l) , NB N 2 B(B-1) , NBf.. 5-11
E” = — -¿ü=i]— + w = + ~ä l 1 “A=ii
2 B z B (A—B) TA 1 *]_
^ _t Ar 2 A 2 A*(A-DLiV J
N
A-N 1
4-1 N
p(l-p).