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§ 2] „mathematische“ Forschungsverfahren
wie soll entschieden werden, ob die Mittelwerte von F unregelmäßig-
schwanken oder eine Tendenz zur Zu- bzw. Abnahme aufweisen? Die
Aufgabe ist leicht zu lösen, wenn jeder folgende Mittelwert von Y größer
bzw. kleiner, als der vorhergehende ist. Meistens ist jedoch das Bild nicht
so einheitlich, sondern es zeigt sich, wie in unserem Falle, ein Auf und
Ab in der Bewegung der F-Mittelwerte. Der Mathematiker, der die
Gleichung der Regressionslinie vermittelst der Methode der kleinsten
Quadrate berechnet, hat eigene, wohl ausgebaute Verfahren, um zu ent
scheiden, inwieweit es für plausibel gelten darf, daß die Regressionslinie
die Gestalt einer der X-Achse parallelen Geraden haben kann. Der
Nicht-Mathematiker, dem diese Verfahren nicht zu Diensten stehen,
muß sich auf andere Weisen zu helfen suchen.
Der nächstliegende Gedanke ist: die Operation des Zusammen
ziehens der Einzelwerte in größere Gesamtheiten zu wiederholen, bis
man auf ein einheitliches Bild kommt. Wenn wir z. B. unsere X-Reihe
in drei Abschnitte teilen (vgl. Tabelle 2), indem wir zum ersten die X-
Werte von 0 bis 5 rechnen, zum zweiten die Werte von 6 bis 12 und zum
letzten die Werte von 13 bis 18, so erhalten wir für den ersten Abschnitt,
dem ein Mittelwert von X gleich 2.5 entspricht, einen Mittelwert der
F-Werte von 5.6; für den zweiten Abschnitt stellt sich der Mittelwert
von X gleich 9 und der Mittelwert von Y gleich 9.05; für den letzten
Abschnitt erhalten wir für X 15.5 und für Y 11.6. Mit der Zunahme der
X-Werte nehmen also ausnahmslos auch die F-Werte zu: Y steht in
einem direkten Zusammenhänge mit X. Der Zusammenhang würde noch
ohne eine einzige Ausnahme zutage treten, wenn wir unsere Reihen in
fünf Abschnitte eingeteilt hätten: wir finden nämlich, daß demX-Mittel-
werte 1.5 der F-Mittelwert von 4.9 entspricht; dem Werte 5.5 von X
entspricht der Wert 7.2 von Y; dem Werte 9 von X würde der Wert
9.3 von Y entsprechen; bei X = 12.5 würde sich Y auf 10.2 stellen und
für den höchsten Wert 16.5 der X-Reihe würden wir den höchsten Wert
der F-Reihe — 12.4 — erhalten. Aber bei einer weiteren Vermehrung
der Gruppenzahl auf 9 hätten wir schon keine ausnahmslose Zunahme
der F-Werte mit dem Steigen der X-Werte beobachtet.
Es ist nun klar, daß man auf diese Weise stets zu einem einheitlichen
Bilde gelangen kann. Wird die Reihe in zwei Abschnitte zerlegt, so wird
ja entweder der eine Durchschnittswert höher sein als der andere oder
stellen sich die beiden gleich: die Entscheidung, ob ein direkter bzw.
ein umgekehrter Zusammenhang zutage tritt oder überhaupt kein Zu
sammenhang zu merken ist, wird demnach leicht zu treffen sein. Es ist
aber ebenso klar, daß die Zuverlässigkeit der Folgerung bei der Ein
teilung in nur zwei Abschnitte keine übermäßig hohe sein wird, da die
Vermutung sich nicht von der Hand weisen läßt, daß der Zufall mit im
Spiele sein kann. Der Schluß auf das Vorhandensein eines Zusammen
hanges gestaltet sich um so überzeugender, bei je zahlreicheren Gruppen
das angestrebte ausnahmslose Zu- bzw. Abnehmen der Werte der einen