24 Drittes Kapitel: Stochastische Verbundenheit [§ 1, § 2
sehen Fehlergesetze —, so daß die Körperlänge eines 21jährigen Nor
wegers als eine zufällige Variable im genauen Sinne der von uns ge
gebenen Definition des Begriffs erscheint. Und die gemessene Körper
länge ist ihrerseits gleichfalls eine zufällige Variable, deren Verteilungs
gesetz durch die Technik und die Geschicklichkeit der Messungen und
zugleich durch das Verteilungsgesetz der Werte der wahren Körperlänge
bestimmt wird. Die eine von diesen zufälligen Variablen — die ge
messene Körperlänge —ist auch in diesem Falle bloß Mittel zum Zweck,
aber der Zweck ist jetzt ein anderer: nämlich die Kenntnis der anderen
zufälligen Variablen, der wahren Körperlänge, und ihres Verteilungs
gesetzes. An die veränderte Zwecksetzung bei der Forschung wird man
auch die Forschungsverfahren anzupassen haben.
§ 2.
1. An den Begriff der zufälligen Variablen lehnt sich der für die
statistische Korrelationstheorie grundlegende Begriff der stochastischen
Verbundenheit der Variablen an, der von dem Begriffe des funktionellen
Zusammenhanges genau zu unterscheiden ist. Steht die Variable Y im
funktionellen Zusammenhänge mit der Variablen X, so bleibt nach der
Festlegung des Wertes von X kein Spielraum mehr für den Zufall übrig
bei der Bestimmung des Wertes von Y: wenn Y = X 2 ist und X gleich
4 gesetzt wird, so stellt sich der Wert von Y auf 16; wenn Y gleich der
Quadratwurzel aus X ist und X gleich 4 gesetzt wird, so kann sich zwar
der Wert von Y auf + 2 und auf — 2 stellen, aber keinem von diesen
Werten kommt eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zu, und die Ent
scheidung, ob Y gleich -j- 2 oder gleich — 2 zu setzen sei, wird nicht
durch den Zufall getroffen., sondern geht auf anderweitige Überlegungen
zurück. Erscheint hingegen Y nach dem Festlegen des Wertes von X
als eine zufällige Variable, welche verschiedene Werte mit bestimmten
Wahrscheinlichkeiten annehmen kann, so haben wir die stochastische
Verbundenheit zwischen Y und X vor uns. Wenn wir z. B. mit Y die
Summe der mit einem weißen und einem roten Würfel geworfenen Zah
len und mit X die mit dem weißen Würfel geworfene Zahl bezeichnen,
so sind Y und X stochastisch miteinander verbunden, denn bei jedem
gegebenen Werte von X kann Y mit gleichen Wahrscheinlichkeiten
sechs verschiedene Werte annehmen, je nachdem welche Zahl mit dem
roten Würfel geworfen wird: ist X z. B. gleich 3, so kann Y gleich 4, 5,
6, 7, 8 und 9 sein; ist X gleich 5, so kann Y gleich 6, 7, 8, 9, 10 und
11 sein.
Ist X eine zufällige Variable und steht Y im funktionellen Zusammen
hänge mit X, so ist Y gleichfalls eine zufällige Variable, aber nur so
lange Y ohne Bezugnahme auf den Wert von X betrachtet wird. Wenn
X z. B. die mit einem Würfel zu werfende Zahl und Y = X 2 ist, so kann
Y mit gleichen Wahrscheinlichkeiten von je sechs verschiedene Werte —
1, 4, 9, 16, 25 und 36 — annehmen. Aber für jeden gegebenen Wert