und funktioneller Zusammenhang
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§2]
von X ist Y keine Variable mehr, sondern erhält einen ganz bestimmten
Wert: ist X gleich 3, so ist Y gleich 9; ist X gleich 5, so ist Y gleich 25.
Der Begriff der stochastischen Verbundenheit läßt sich verall
gemeinern, so daß er auf den Fall von beliebig vielen Variablen anwend
bar wird. Wenn nach der Festlegung der Werte von X, Y, Z, U der
Wert der Variablen T eindeutig bestimmt wird oder die Variable T
mehrere verschiedene Werte annehmen kann, aber diesen Werten keine
bestimmten Wahrscheinlichkeiten zukommen, so steht T im funktionellen
Zusammenhänge mit X, Y, Z, U. Hingegen ist T stochastisch mit X.
Y, Z, U verbunden, falls T auch nach der Festlegung der Werte von X,
von Y, von Z und von U verschiedene Werte mit bestimmten Wahr
scheinlichkeiten annehmen kann. Man bezeichne z. B. mit T die Summe
der mit drei verschiedenfarbigen Würfeln geworfenen Zahlen, mit X —
die mit dem weißen Würfel geworfene Zahl, mit Y— die mit dem roten
Würfel geworfene Zahl. Auch unter der Annahme, daß X und Y be
stimmte Werte haben, kann T mit gleichen Wahrscheinlichkeiten von
je | sechs verschiedene Werte annehmen, je nachdem ob mit dem dritten
Würfel 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird.
Zu beachten ist die für den Statistiker höchst wichtige Möglichkeit,
daß T sowohl mit X wie mit Y, wenn sie einzeln betrachtet werden,
stochastisch verbunden ist, aber nach der Festlegung der Werte der
beiden Variablen X und Y die Eigenschaft der zufälligen Variablen ver
liert. Wenn T die Summe der mit einem weißen und einem roten Würfel
geworfenen Zahlen bezeichnet, so ist T sowohl mit der Zahl, welche auf
dem weißen Würfel erscheint, wie mit derjenigen, welche mit dem roten
Würfel geworfen wird, stochastisch verbunden. Sobald jedoch die
beiden Zahlen feststehen, ist auch der Wert von T eindeutig festgelegt:
hat man mit dem weißen Würfel 1 und mit dem roten Würfel 6 geworfen,
so hat T den Wert 7, andere mögliche Werte gibt es dann für T nicht
mehr; der Zusammenhang ist zu einem funktionellen geworden.
Diese Art der gegenseitigen Beziehungen zwischen drei Variablen
bildet ein Gegenstück zum funktionellen Zusammenhänge einer Variablen
mit zwei unabhängigen nicht zufälligen Variablen. Wollen wir etwa
den Zusammenhang der Siedetemperatur der Lösung von Kochsalz im
Wasser mit der Konzentration der Lösung und dem Druck auf die
Wasseroberfläche betrachten. Die Kombination der Werte vonX und von
Y bestimmt in diesem Falle eindeutig den Wert von T: bei gegebener
Konzentration und gegebenem Druck steht auch die Siedetemperatur
fest. Aber zwischen der Siedetemperatur und dem Druck bei unbestimmt
bleibender Konzentration gibt es keinen faßbaren Zusammenhang. Auf
die Frage, bei welcher Temperatur eine Kochsalzlösung unter dem
atmosphärischen Druck zu sieden beginnt, gibt es keine vernünftige
Antwort. Die Frage bleibt sinnlos, solange keine näheren Bestimmungen
in bezug auf die Konzentration hinzutreten. Diese näheren Bestimmun
gen können die Form eines genauen Wertes annehmen, wie wir oben