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§ 3] und funktioneller Zusammenhang 
gesetz feststeht. Alles übrige läßt sich aus dem Verteilungsgesetze dedu 
zieren. Die Feststellung der Gesamtheit der möglichen Werte der Va 
riablen und der ihnen zukommenden Wahrscheinlichkeiten erscheint 
demnach als die eigentliche Hauptaufgabe der Forschung. In dieser 
Form ist jedoch unser Wissen über die zufällige Variable wohl voll 
ständig, aber nicht handlich und nicht übersichtlich genug. Es muß in 
geeigneter Weise kondensiert werden, um für unsere Forschungs- wie 
Lebenszwecke verwertbar zu sein. Ein Verteilungsgesetz läßt sich mit 
einem anderen unmittelbar schwer vergleichen, außer wenn beide ganz 
einfach aussehen. Erst durch zweckmäßig konstruierte zusammen 
fassende Maßzahlen wird aus dem Verteilungsgesetze in brauchbarer 
Form dasjenige herausdestilliert, was an ihm für den Forscher eigent 
lich wissenswert erscheint. 
Unter diesen zusammenfassenden Maßzahlen kommen bekanntlich 
in erster Linie die mathematische Erwartung und der mittlere Fehler 
der zufälligen Variablen in Betracht. Unter der mathematischen Er 
wartung versteht man den mit den betreffenden Wahrscheinlichkeiten 
gewogenen Durchschnittswert der möglichen Werte der Variablen: wenn 
die zufällige Variable Xk verschiedene Werte X 1 ,X 2 , . . . X k mit den 
Wahrscheinlichkeiten p v p 2 , . . ., p annehmen kann, so wird die mathe- 
k 
matische Erwartung von X als 2 p.X. definiert; wir werden sie mit EX 
i=i 1 1 
bezeichnen. Der mittlere Fehler von X wird als n VtiX-EXf 
definiert; man pflegt ihn mit 6% zu bezeichnen. Die zweite Potenz des 
mittleren Fehlers werde ich „Streuung“ nennen. 
Durch den Wert der mathematischen Erwartung der zufälligen Va 
riablen wird der mittlere Stand festgelegt, an den sich die einzelnen 
Werte der Variablen in größeren oder geringeren Abständen anschmiegen. 
Durch den mittleren Fehler bzw. die Streuung der zufälligen Variablen 
wird der Spielraum der Schwankungen der einzelnen Werte um diesen 
mittleren Stand gekennzeichnet. Eine von 0 verschiedene Streuung 
ist eine Wesenseigenschaft der zufälligen Variablen als solcher: die Streu 
ung kann nur verschwinden, wenn alle möglichen Werte der Variablen 
unter sich gleich sind, d. h. wenn wir nicht eine zufällige Variable, son 
dern eine konstante Größe vor uns haben. 
Um nur einige Beispiele zu betrachten, auf die wir häufig zurück 
kommen werden, wollen wir annehmen, daß mit X die mit einem Würfel 
zu werfende Zahl bezeichnet wird. Die mathematische Erwartung von 
X ist in diesem Falle gleich | [1 + 2 -f 3 + 4 + 5 + 6] = 3.5; die Streu 
ung von X ist gleich |[^ + | + 4 + f + |+ y ] = ff - Bezeichnet man 
mit Z die Summe der mit zwei Würfeln zu werfenden Zahlen, so erhält 
man in ähnlicher Weise EZ = 7 und = y • 
Auf Maßzahlen, welche die Asymmetrie und andere feinere Züge des