34 Drittes Kapitel: Stochastische Verbundenheit [§ 4 
mathematische Erwartung von Y bei allen Werten von X konstant 
bleiben, aber das bedingte Verteilungsgesetz von Y sich in irgendeiner 
anderen Weise ändern, wenn die Variable X die Reihe ihrer möglichen 
Werte durchläuft; der bedingte mittlere Fehler kann z. B. verschiedene 
Werte haben bei verschiedenen Werten von X. Man nehme an, daß in 
den sechs Urnen, von welchen eben die Rede war, weiße Kugeln in glei 
cher relativer Zahl enthalten sind, daß aber die Zahl der Ziehungen, 
welche aus der durch den Würfel vorgeschriebenen Urne zu machen 
sind, der geworfenen Zahl proportional ist, daß sie also n beträgt, falls 
mit dem Würfel 1 geworfen wird, 2 n, falls 2 geworfen wird usw. Die 
Quote der gezogenen weißen Kugeln ist unter diesen Verhältnissen mit 
der geworfenen Zahl nicht korreliert, denn die mathematische Erwar 
tung der Quote wird durch die relative Zahl der weißen Kugeln in der 
betreffenden Urne bestimmt, welche für alle sechs Urnen dieselbe ist. 
Aber der bedingte mittlere Fehler bleibt nicht konstant: im Falle, wenn 
mit dem Würfel 4 geworfen wird, ist er halb so groß wie da, wo mit dem 
Würfel 1 geworfen wird. Die Quote der weißen Kugeln ist also von der 
geworfenen Zahl nicht unabhängig. 
Es ist ferner zu beachten, daß im Unterschiede von der stochasti 
schen Unabhängigkeit, welche stets für beide Variablen gegenseitig ist, 
das Pearsonsche Nicht-Korreliertsein kein gegenseitiges Verhältnis 
zwischen den Variablen begründet: daraus, daß Y mit X nicht korreliert 
ist, darf man nicht schließen, daß X mit Y nicht korreliert sei. Die 
Regression von Y in bezug auf X kann die Gestalt einer der X-Achse 
parallelen Geraden haben, und die Regression von X in bezug auf Y 
trotzdem eine von der zur Y- Achse parallelen Geraden beliebig ab 
weichende Gestalt aufweisen. Um diesen wichtigen Umstand ganz klar 
vor die Augen zu führen, wollen wir ein Beispiel betrachten, 
i Aus einer geschlossenen Urne mit gleich zahlreichen weißen und 
schwarzen Kugeln werden &-Serien von Ziehungen vorgenommen, wo 
bei die gezogene Kugel stets in die Urne zurückgelegt wird, bevor die 
nächste Ziehung stattfindet. Die Zahl der Ziehungen wird ihrerseits 
in zufälligerweise bestimmt, etwa dadurch, daß aus einer anderen Urne, 
die eine Anzahl von Zetteln mit darauf geschriebenen Zahlen enthält, 
ein Zettel gezogen und die Zahl der vorzunehmenden Kugelziehungen 
der auf dem Zettel stehenden Zahl gleichgesetzt wird, worauf der ge 
zogene Zettel in die Urne zurückgelegt wird, so daß die Wahrscheinlich 
keit eines jeden möglichen Wertes für die Zahl der Kugelziehungen kon 
stant bleibt. Man bezeichne mit % die Zahl der Ziehungen der ¿-ten Serie, 
mit w L die Quote der hierbei gezogenen weißen Kugeln. Die beiden zu 
fälligen Variablen — n und w — wollen wir jetzt auf ihre Verbundenheit 
untersuchen unter der Annahme, daß die Zahlen, welche auf den Zetteln 
stehen, in ziemlich weiten Grenzen schwanken, so daß die Zahlen der 
Ziehungen in den einzelnen Serien zum Teil ganz gering, zum Teil sehr 
groß sind. Faßt man zunächst die Abhängigkeit der Größe w von n ins