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Viertes Kapitel: Das apriorische [§ 1, § 2 
Nach unserer Definition (vgl. Drittes Kapitel, §4, 3,) ist die Variable 
Y unabhängig von X, falls das bedingte Verteilungsgesetz von Y bei 
allen Werten von X dasselbe bleibt, d. h. wenn die bedingte Wahrschein 
lichkeit eines beliebigen Wertes von Y bei allen Werten von X der un 
bedingten Wahrscheinlichkeit desselben Wertes von Y gleich ist, oder 
in die Formelsprache übertragen, wenn p\*] = p tj für * = 1, 2, . . k 
und j = 1, 2, . . I. 
Umgekehrt: falls p^ j = p lJ für jeden möglichen Wert von i und für 
jeden möglichen Wert von j, so bleibt das bedingte Verteilungsgesetz 
von Y dasselbe bei allen Werten von X und die Variable Y ist von X 
unabhängig. 
Setzen wir nun in die unter allen Verhältnissen gültige Beziehung 
p n v\‘]— P u p® den Wert p^ = p tj , so erhalten wir: p> ;] p y . = p p^ und 
hieraus pf] — p. r Ist also p ( ^ = p für alle Werte von i und von j, so 
ist auch p^ ~ p.! für alle Werte von i und von j: die Unabhängigkeit 
der Variablen Y von X bedingt die Unabhängigkeit der Variablen X 
von Y, wie bereits oben ohne Beweis hervorgehoben wurde (vgl. Drittes 
Kapitel, § 4, 3). 
In gleicher Weise überzeugen wir uns, daß im Falle der gegenseitigen 
Unabhängigkeit der Variablen p. } . — p {] p^ bei allen möglichen Werten 
von i und von j. 
Umgekehrt: istp i{j = p ü p lj bei allen möglichen Werten von i und 
von j, so ist pj'? = p bei allen möglichen Werten von i und von j und 
die Variablen X und Y sind gegenseitig unabhängig. 
§ 2. 
1. Im Falle der gegenseitigen Unabhängigkeit der Variablen sind 
alle Differenzen p nj — p^ p { . gleich 0. Wenn eine oder mehrere Diffe 
renzen von 0 verschieden sind, so sind die Variablen nicht unabhängig. 
Je größer die Differenzen sind, desto mehr weicht die zwischen den 
Variablen bestehende Verbundenheit von der Unabhängigkeit ab. Die 
Größe der Differenzen bringt demnach eine wesentliche Eigenschaft der 
zu betrachtenden Verbundenheit zum Ausdruck. Sie bildet deshalb die 
Grundlage einer der Hauptgruppen unter den zur Darstellung der sto 
chastischen Verbundenheit dienenden Verfahren. 
Im Falle, wenn sowohl X wie Y nur je zwei verschiedene Werte an 
nehmen können, sind alle vier Differenzen der absoluten Größe nach 
gleich. Setzt man p in —p 1 \P n =S, so ist identisch d— p 2 \ 2 —p 2 \P { 2~ 
= —[^112 — ^11^2] = — feu — Pi\Pn ]• Der Wert von ö erscheint in 
diesem Falle als eine bequeme zahlenmäßige Charakteristik der Ver 
bundenheit zwischen den Variablen. Setzt man in dem Ausdruck für d 
Pi\ =^111 + ^112 ’Pn = ^111 + ^211 und beachtet, daß 2h 11 + 2h 12 + P211 + 
+ P212 = 1 ist, so erhält man ferner ö = p in p 2 , 2 — Pi 12 Pz 11 • lu dieser