§ 2] Abhängigkeitsgesetz 41 
symmetrischen Gestalt wird d besonders gerne zur Bildung von Maß 
zahlen verwertet. 
Falls die Variablen mehr als zwei Werte erhalten können, brauchen 
die Differenzen Vi\j~~Vi\V\j nicht alle gleich zu sein. Eine einzelne 
unter ihnen kann in diesem Falle nicht als Kennzeichen der Verbunden 
heit dienen. Die zusammenfassenden Maßzahlen müssen auf der Ver 
wertung aller Differenzen aufgebaut werden. Da nun die Summe der 
Differenzen identisch gleich 0 ist, so liegt am nächsten, von den zweiten 
Potenzen der Differenzen auszugehen. Es lassen sich auf dieser Grund 
lage verschiedene Maßzahlen konstruieren. Die größte Bedeutung 
kommt der von Pearson eingeführten Maßzahl, welche er Mean square 
Contingency nennt. Wir werden sie mit qp 2 bezeichnen und als 
qp 2 = ^ definieren. 
ikik 
Sind die Variablen gegenseitig unabhängig, so sind alle Differenzen 
Pi\j~ Vi\P\j gleich 0 und folglich auch qp 2 =0. Umgekehrt: qp 2 kann 
gleich 0 sein, nur wenn alle Differenzen gleich 0 sind; aus qp 2 = 0 folgt 
unmittelbar, daß die Variablen gegenseitig unabhängig sind. Ist der 
Zusammenhang zwischen X und Y ein funktionell eindeutiger, so läßt 
sich jedem Werte von X ein bestimmter Wert von Y mit Gewißheit zu 
ordnen; wird der Wert von Y, welcher dem W T erte X { von X entspricht, 
mit Yi bezeichnet, so ist die Wahrscheinlichkeit p i}J - gleich 0, wenn j ver 
schieden von i ist; was die Wahrscheinlichkeit p iH anbelangt, so ist sie 
gleich pi,. Hierbei nimmt qp 2 den Wert k — 1 an, falls mit k die Zahl 
der möglichen Werte der Variablen bezeichnet wird. 
Tm Werte von — 1 -cp 2 haben wir demnach eine Maßzahl, 
V(k-i)d-iy 
welche gleich 0 ist im Falle der gegenseitigen Unabhängigkeit der Variablen 
— und nur in diesem Falle! —und den Wert 1 annimmt, wenn die Va 
riablen in einem beliebig gestalteten eindeutigen funktionellen Zusam 
menhänge miteinander stehen. Der numerische Wert von —^ qp 2 
hält sich in diesen Grenzen 0 und 1 und stellt sich um so näher an die 
obere Grenze, je mehr sich die Gestaltung der bedingten Verteilungs 
gesetze von Y der Form nähert, bei welcher die Wahrscheinlichkeit 
eines der möglichen Werte von Y der Gewißheit gleichkommt und die 
Summe der Wahrscheinlichkeiten der übrigen Werte verschwindend 
klein wird, oder mit anderen Worten: je weniger ausgesprochen der Cha 
rakter der zufälligen Variablen wird nach der Festlegung des Wertes 
von X, je mehr sich die gegenseitigen Beziehungen zwischen Y und X 
dem Typus des eindeutigen funktionellen Zusammenhanges nähern. In 
der Größe 1 qp 2 besitzen wir demnach ein Maß für eine 
!/(* — !) (Z—1) T