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Viertes Kapitel: Das apriorische 
[§ 3 
§ 3. 
1. Eine andere Hauptgruppe von Verfahren, welche bei der Unter 
suchung von stochastisch verbundenen Variablen zur Anwendung ge 
langen, geht von der Betrachtung der bedingten Verteilungsgesetze aus. 
Sind die Variablen stochastisch unabhängig voneinander, so bleibt das 
bedingte Verteilungsgesetz von Y bei allen Werten von X dasselbe. Die 
fehlende Unabhängigkeit kommt darin zum Vorschein, daß die verschie 
denen Kennzahlen, welche die bedingten Verteilungsgesetze von Y 
charakterisieren, sich in einer bestimmten Weise ändern, wenn die Va 
riable X die Reihe ihrer möglichen Werte durchläuft. Die nähere Ge 
staltung der Weise, in welcher sich die verschiedenen Kennzahlen der 
bedingten Verteilungsgesetze hierbei ändern, bildet mithin einen der 
charakteristischen Züge des Abhängigkeitsgesetzes von X und Y. 
Um diese Verfahren geordnet zu überblicken, müssen wir eine Reihe 
neuer Bezeichnungen einführen. Wollen wir mit m /]ff die mathematische 
Erwartung des Produktes der /-ten Potenz von X in die g-te Potenz 
von Y bezeichnen, so daß 
m f\ g = ^*Y = 22 Vi|,• x \y] 
i j 
ist. Führen wir weiter die Bezeichnungen ein: 
=E[x-m U0 ] f [y 
m 
oiri 
=22î> i |,[*,-«n ll0 l' [Vt 
m o J’ r ll, 
l'fl, 
¥ ¥ 
^210^012 
Wird g = 0 gesetzt, so erhalten wir die entsprechenden Parameter, 
durch welche das Verteilungsgesetz von X charakterisiert wird. Wird 
/ =0 gesetzt, so erhalten wir die Parameter des Verteilungsgesetzes von F. 
So ist m 110 die mathematische Erwartung von X, m on — die mathe 
matische Erwartung von Y, 10 = E [ % —- m 1 , 0 ] 2 — p. ( [a:. — m 1 , 0 j 2 = 
— die Streuung von X, ] 2 = öl — die Streuung von Y. 
Diese drei Systeme von Parametern werden wir fortwährend ge 
brauchen. Ist das Abhängigkeitsgesetz gegeben, so lassen sie sich alle 
eindeutig bestimmen. Umgekehrt läßt sich das Abhängigkeitsgesetz 
eindeutig bestimmen, falls die Parameter m in zweckdienlicher Aus 
wahl und erforderlicher Anzahl gegeben sind oder falls neben den Wer 
ten von m 1 , 0 und m 0 , 1 die Parameter g, oder schließlich, falls neben den 
Werten von m 1]0 , m 0I1 , ^ 210 und g or/ die Parameter r in entsprechender 
Anzahl vorliegen. Auf den Beweis dieser Sätze kann ich hier nicht ein- 
gehen. Im Falle der diskontinuierlichen Abhängigkeitsgesetze bietet er 
keine besonderen Schwierigkeiten, aber im Falle der kontinuierlichen 
Gesetze gestaltet er sich ziemlich beschwerlich. Diese Aufgabe —- in der 
Literatur ist sie unter der Bezeichnung „Problème des moments“ be 
kannt — würde uns zu weit von unserer Hauptaufgabe ablenken. Für 
unsere unmittelbaren Zwecke kommt es außerdem hierauf nicht so sehr an..