[§ 3
§ 3]
Abhängigkeitsgesetz
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Unter den drei Parametersystemen zeichnen sich die Parameter r
dadurch aus, daß sie abstrakte Zahlen sind; dies macht sie für die Ver
gleichung der Abhängigkeitsgesetze besonders geeignet. Der erste in
der Reihe der r-Parameter ist der bekannte KorrelationsJcoeffizient
f l i\i
li. „ ui.
Pi i i
c a..
Es läßt sich leicht zeigen, daß der Korrelationskoeffizient seinem abso
luten Werte nach nicht größer als 1 sein kann. Da die mathematische
Erwartung einer Variablen, welche keine negativen Werte annimmt,
nicht negativ sein kann, ist
Da nun anderseits
1
l l I 0
y~ m on
>0.
[x — m 1 ,q] 2 __ £ [y — m 0 ul
E{
v
x — m ll0
1 mi d r [¿c — m ll0 ] [y — m ol] ]
6 * 6 v
y — ™Oll] 2 .
Hl
= 1
r 2 •
111»
E
so ist
U- I — 3
V 111 °l
hieraus erhält man:
1 —»?,!> 0 und r\ n < 1.
Die Parameter, welche die bedingten Verteilungsgesetze von Y cha
rakterisieren, wollen wir dadurch kenntlich machen, daß wir oben in
Klammern auf den betreffenden Wert von X hinweisen: so wird z. B.
die bedingte mathematische Erwartung von Y bezeichnen, welche
dem Werte X { von X entspricht, und ¡x^l wird die entsprechende be
dingte Streuung von Y bezeichnen. Wir haben also der Definition gemäß:
m n = 2 V® Vj> Pfl = 2 Pu [Vj — ^i i] 2 -
j 3
In ähnlicher Weise werden die Parameter der bedingten Verteilungs
gesetze von X bezeichnet:
m ( l\=2 Pu , P® = 2?® [*• — ] 2 .
I 1 1
Von den vielgestaltigen Beziehungen zwischen den bedingten und
den nicht-bedingten Parametern wollen wir uns nur diejenigen merken,
■welche die nicht-bedingten mathematischen Erwartungen der Variablen
mit den Durchschnittswerten der bedingten mathematischen Erwartun
gen und die nicht-bedingten Streuungen mit den Durchschnittswerten
der bedingten Streuungen verbinden, da wir von diesen Beziehungen
häufig Gebrauch machen werden. Aus den Definitionen lassen sich
leicht folgende Identitäten ableiten:
=SSeihte,—™„ 11 )-W?- m oi 1 )] > “
“Pin—??.K—J