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Viertes Kapitel: Das apriorische
i§4
beliebigen Werte von X zu erwartenden Werte von Y der Vorausberech
nung auf Grund der Kenntnis der Gesetzesformel beim Vorhandensein
des funktionellen Zusammenhanges zwischen Y und X. Je kleiner der
Wert des Korrelationsverhältnisses ist. desto größer bleibt der Spiel
raum der zufälligen Schwankungen, welchen die Bestimmung des Wer
tes von Y nach der Festlegung des Wertes von X ausgesetzt bleibt —
desto unsicherer wird unsere Schätzung des zu erwartenden Wertes
von Y auf Grund der Kenntnis der Regressionsgleichung und des von
der Variablen X angenommenen Wertes.
Das KorrelationsVerhältnis von Y zu X gibt der Strammheit der
Verbundenheit der Variablen Y mit der Variablen X einen zahlenmäßi
gen Ausdruck, der bei beliebig gestalteten Abhängigkeitsgesetzen den
selben Sinn behält. Hierin liegt ein wesentlicher Vorzug vor dem Korre
lationskoeffizienten, dessen zahlenmäßige Werte (vgl. unten § 4, 3.)
nur bei geradliniger Regression den Sinn haben, welchen man ihnen
meistens beizulegen pflegt. Als ein absolutes Maß der Strammheit
darf übrigens auch das Korrelationsverhältnis nicht gelten. Aus dem
Werte 0 des Korrelations Verhältnisses von Y zu X darf namentlich nur
auf das Nicht-Korreliertsein, aber nicht auf den Spielraum der Schwan
kungen geschlossen werden, deren Y nach der Festlegung der X-Werte
fähig bleibt. Ist das Korrelationsverhältnis von Y zu X gleich 0, so be
deutet dies, daß die Bestimmung des Wertes der Variablen X den Spiel
raum der Schwankungen von Y im Durchschnitte unverändert läßt: ob
aber dieser Spielraum groß oder gering ist, darüber unterrichtet uns der
Wert des Korrelationsverhältnisses an sich nicht: er muß vielmehr durch
den Wert von 2 p ^ = fi 0|2 [l — J ergänzt werden, falls die ab-
i
solute Strammheit des Zusammenhanges in diesem Sinne geschätzt
werden soll. Ist die Verbundenheit von Y mit X homoskedastisch, so
stellt sich die konstante bedingte Streuung von Y, welche dann an die
Stelle der durchschnittlichen bedingten Streuung von Y tritt, identisch
gleich /i 0l2 [l-^,J.
Bei der Berechnung des Korrelationsverhältnisses kann man sowohl
von
iy\x
= 1
Po I 2
2
V U P ( L wie von x
— p
y i i
(iW2
P£]
ausgehen. Ist die Regressionsgleichung bekannt, so läßt sich das Korre
lationsverhältnis vermittelst Substitution des Wertes von durch
die Koeffizienten der Regressionsgleichung und durch deren Vermitt
lung durch die Parameter m, p und r ausdrücken. So erhalten wir z. B.
im Falle, wenn die Regression die Gestalt einer Parabel zweiten Grades
hat, aus der uns bekannten Regressionsgleichung (vgl. oben § 3., 2. C)
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