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§4] 
Abhängigkeitsgesetz 
nach einigen Transformationen 
lyu r 4 |0 — r| j 0 — ! 
3. Ist die Regression von Y in bezng auf X geradlinig mit der Glei 
chung = r lll 3£i, so erhalten wir, da2, 3E* = 1 ist, ^ u =r'^ i .Bei 
geradliniger Regression sind somit das Korrelationsverhältnis und der 
Korrelationskoeffizient der absoluten Größe nach gleich. 
Ist hingegen die Regression nicht geradlinig, so ist 
Dies läßt sich am einfachsten infolgenderWeisenachweisen. Wollen wir mit 
die Gleichung der an die wahre Regressionslinie am besten angepaßten 
Geraden bezeichnen. Da 
ist, so ist 
Die Differenz vl ix — r \ n kann also nicht negativ sein. Sie kann 
gleich 0 sein nur, wenn alle Größen m ( f\ mit den entsprechenden Größen 
M ( *\zusammenfallen, d. h. wenn die Gerade M ( ^ — m. n + 1 
|1 I 1 0,1 ^2 10 *- 110.1 
sich mit der wahren Regressionslinie deckt. 
Bei geradliniger Regression sind also die zahlenmäßigen Werte des 
Korrelationskoeffizienten in genau derselben Weise zu interpretieren, 
wie die mit ihnen zusammenfallenden Werte des Korrelationsverhält 
nisses. Ist der Korrelationskoeffizient gleich 1, so steht die Variable Y 
in linearem funktionellen Zusammenhänge mit X. Ist der Korrelations 
koeffizient gleich 0, so ist die Variable Y nicht-korreliert mit X. Je größer 
der Wert des Korrelationskoeffizienten ist, desto enger ist der Spielraum 
der zufälligen Schwankungen, denen die Variable Y nach der Festlegung 
des Wertes von X ausgesetzt bleibt, —desto mehr nähert sich die Verbun 
denheit zwischen Y und X dem linearen funktionellen Zusammenhänge. 
Ist jedoch die Regression nicht geradlinig, so darf man die zahlen 
mäßigen Werte des Korrelationskoeffizienten im obigen Sinne nicht 
mehr interpretieren. Bei nicht-geradliniger Regression bleibt der Korre 
lationskoeffizient, der absoluten Größe nach, stets kleiner als das Korre 
lationsverhältnis. Dem Werte 1 des Korrelationsverhältnisses entspricht 
ein Wert des Korrelationskoeffizienten, der kleiner als 1 ist: einem funk 
tionellen, aber nicht linearen Zusammenhänge zwischen Y und X ent 
spricht folglich nicht der Wert 1 des Korrelationskoeffizienten, sondern 
ein kleinerer, mehr oder weniger von 1 abweichender Wert, je nach der 
näheren Art des funktionellen Zusammenhanges. Anderseits ist der 
Wert 0 des Korrelationskoeffizienten im Falle der nicht-geradlinigen 
Regression kein Zeichen dafür, daß die Variable Y mit X nicht-korre-