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§4,§5] 
Abhängigkeitsgesetz 
Gelegentlich läßt der zahlenmäßige Wert des Korrelationskoeffizien 
ten bei geradliniger Regression besonders sinnfällige Interpretierungen 
zu. Man nehme etwa an, daß mit m-weißen und w-roten Würfeln ge 
würfelt wird und bezeichne mit U die Summe, welche mit den roten 
Würfeln geworfen wird, mit W die Summe, welche mit den weißen Wür 
feln geworfen wird, und setze X — U + W. Die weißen Würfel werden 
liegen gelassen, die roten hingegen aufgehoben, im Becher geschüttelt 
und wieder geworfen; man bezeichne mit T die mit den roten Würfeln 
beim zweiten Versuch geworfene Summe und setze Y — W + T. Der 
Korrelationskoeffizient zwischen X und Y läßt sich unter diesen Vor 
aussetzungen leicht berechnen und stellt sich dem Verhältnisse der Zahl 
der gemeinsamen Addenden — d. i. m — zur Gesamtzahl der Addenden 
— m + n — gleich: r,, = —— ' Vom Werte des Korrelationskoeffi- 
i o i' 1 m 4- n 
zienten kann also auf die relative Zahl der liegenbleibenden weißen Wür 
fel geschlossen werden . Das Schema dieses Beispiels läßt sich allgemeiner 
fassen: wenn beide Variablen als Summen von gegenseitig unabhängigen 
Addenden, welche demselben Verteilungsgesetze folgen, darstellbar sind, 
so ist der Korrelationskoeffizient dem Verhältnisse der Zahl der gemein 
samen Addenden zum geometrischen Mittel aus den Zahlen der Adden- 
m 
den in den beiden Summen gleich: r in 
, falls durch 
l/[m + »] [m +1] 
m die Zahl der gemeinsamen Addenden, durch m -f n die Gesamtzahl der 
Addenden in X und durch m +1 die Gesamtzahl der Addenden in Y 
bezeichnet werden. 
§ 5. 
1. Eine besonders bevorzugte Stellung wird dem Korrelations 
koeffizienten zuteil, wenn die stochastische Verbundenheit zwischen den 
Variablen die Gestalt der sogenannten „normalen Korrelation“ hat. 
Unter „■normaler Korrelation“ versteht man den Fall, wenn die Variablen 
X und Y kontinuierlich alle Werte zwischen •— oo und + °° annehmen 
können und die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens eines Wertes 
von X, der zwischen x und x -\-dx liegt, mit einem Werte von Y, der 
zwischen y und y Ydy liegt, gleich 
fi-012 [a;-TO 1 |o] 2 -2 [y-m wi \ +^ 2 \o 
2 [^210 /^012 
1 
dxdy 
e 
2jty^, 2|0 u 0 | 2 fi 1 li 
ist. Setzt man hier: 
so erhält man für die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens des 
zwischen de und X-\-dX liegenden Wertes von X mit dem zwischen 
und ^)+ dty liegenden Werte von Y in normalen Koordinaten den 
Ausdruck: 
^2 O*. «12 
1 
e 
2»]/!—rf u