Abhängigkeitsgesetz 
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§6] 
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der Gestalt der Regressionslinie von X in bezug auf Y beurteilen. x\ber die 
gleichzeitige Betrachtung der beiden Regressionslinien gestattet, eine 
gewisse Vorstellung von der Strammheit der Verbundenheit zu gewinnen. 
Wenn die Variablen X und Y im funktionellen Zusammenhänge 
stehen, ist die Gleichung, welche Y als eine explizite Funktion von X 
darstellt, aus der Gleichung, welche X als eine explizite Funktion von Y 
darstellt, ableitbar. Geht man von der Betrachtung der einen der Re 
gressionslinien aus, so ist man stets imstande festzustellen, wie die andere 
Regressionslinie auszusehen hätte, wenn der Zusammenhang zwischen 
den Variablen ein funktioneller wäre. Wenn also die tatsächliche Re 
gression der zweiten Variablen in bezug auf die erste eine abweichende 
Gestalt aufweist, so darf man die Annahme, daß die Variablen in funk 
tionellem Zusammenhänge miteinander stehen, als widerlegt betrach 
ten: die Variablen sind dann stochastisch verbunden. 
Man nehme etwa an, daß die Regression von Y in bezug auf X ge 
radlinig ist und daß die Regressionsgleichung die Form mS'\ = a^-\-a n Xi 
hat. Falls die beiden Variablen in funktionellem Zusammenhänge stehen, 
deckt sich m\\ mit demjenigen Werte von Y, welcher dem Werte X t - 
von X entspricht, wie anderseits m[ j) t sich mit demjenigen Werte von 
X deckt, welcher dem Werte Yj von Y entspricht. Die Regressions 
gleichung von Y in bezug auf X darf folglich unter der Annahme des 
funktionellen Zusammenhanges in der Form y = a l0 -Ya n x geschrie 
ben werden. Hieraus erhalten wir: x — — ^ l0 + —- y. Falls ein funk- 
“u “ii 
tioneller Zusammenhang zwischen den Variablen besteht, muß dem 
nach die Regressionsgleichung von X in bezug auf Y in der Form 
m U) _ — ^ +— y darstellbar sein. Wenn also die Linie der Regres 
sion von X in bezug auf Y keine Gerade ist, oder wenn bei geradliniger 
Regression von Win bezug auf Y in der Regressionsgleichung wX] = « l0 + 
+ a,, y. der Koeffizient a,, von —- verschieden ist, so erscheint das Vor- 
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handensein eines funktionellen Zusammenhanges zwischen X und Y 
ausgeschlossen. 
In ähnlicher Weise läßt sich in den Fällen, wenn keine der Regres 
sionen geradlinig ist, entscheiden, ob die Annahme eines funktionellen 
Zusammenhanges aufrechterhalten werden darf oder nicht. 
Falls die beiden Regressionen geradlinig sind, sind wir imstande, die 
Strammheit der Verbundenheit zwischen X und Y auf Grund der 
beiden Regressionsgleichungen genau zu schätzen. Falls die Regressions 
gleichungen die Form 
m n= a ^+ a n x i und m K= a ®0i + °ii Vs 
haben, ist das Produkt der Koeffizienten u, x und , der zweiten Potenz 
des Korrelationskoeffizienten identisch gleich (vgl. oben § 3,2.): ci x , a n = 
— rj, j. Sind die Koeffizienten a x und a n bekannt, so läßt sich der Wert