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§ 7] Abhängigkeitsgesetz
einer zufällig variablen Größe ausgehen, auf die Untersuchung der Ver
bundenheit zwischen nicht-quantitativen zufällig variablen Merkmalen
angewandt werden können, falls die beiden Merkmale nur je zwei ver
schiedener Gestaltungen fähig sind. Um dies einzusehen, nehme man
zunächst an, daß sowohl die variable Größe X wie die variable Größe
Y nur je zwei verschiedene zahlenmäßig genau feststehende Werte
annehmen können, und berechne unter dieser Annahme den Korre
lationskoeffizienten zwischen X und Y nach der allgemeinen Formel
r = —• Bezeichnet man, wie vorhin (vgl. oben § 2, 1.), mit 8
Vf*2|Of*OI2
die Differenz P in P tli —Pi\2^211’ so findet man leicht:
^iu = <y [aq x 2 ] [y-y—y 2 ]> f*2io = P11P21 [^1 ^j 2 ? H\2~P\iP\2 [V\ V^ 2 -
Die zahlenmäßigen Werte der Variablen treten somit im Zähler wie
im Nenner des Korrelationskoeffizienten in der Form des Produktes
[aq — x 2 ] \y x — y 2 ] auf und lassen sich kürzen, so daß für den Korre
lationskoeffizienten zwischen X und Y der Wert erhalten wird
S
fin— •
VPi|P«|P|iP|2
Im Falle, wenn die beiden Variablen nur je zwei verschiedene Werte
annehmen können, enthält folglich die Formel die möglichen Werte der
Variablen nicht. Der Korrelationskoeffizient bleibt ungeändert, falls
sich die möglichen Werte der Variablen beliebig ändern, wenn nur die
den Werten zukommenden Wahrscheinlichkeiten dieselben bleiben. Man
braucht demnach die möglichen Werte nicht zu kennen, um den Korre
lationskoeffizienten zu berechnen; man braucht sie folglich nicht zu
messen; ja man braucht nicht einmal anzunehmen, daß sie überhaupt
meßbar sind.
Der Wert des Korrelationskoeffizienten, den wir erhalten haben, ist,
wie wir sehen, demjenigen gleich, welchen wir für die Mean square Con
tingency erhalten haben (vgl. oben § 2, 1.). Die Berechnung der beiden
Korrelationsverhältnisse führt gleichfalls zu demselben Ausdruck. Die
Größe — läßt sich mithin im Falle,wenn beide zufällig variablen
P11 P21 P11P12 0
Merkmale nur je zwei verschiedener Gestaltungen fähig sind, sowohl
als die Mean square Contingency cp 2 , wie auch als die zweite Potenz des
Korrelationskoeffizienten r in bzw. wie die Korrelationsverhältnisse 1?®\»
und r]l iy auffassen.
Fünftes Kapitel.
Das empirische Material uiid die es zusammenfassenden Maßzahlen.
§ 1.
Das Abhängigkeitsgesetz und die Gesamtheit der es zusammenfassen
den Parameter und Maßzahlen vermitteln eine für alle Zwecke aus
reichende Kenntnis der stochastischen Verbundenheit zwischen den zu