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Fünftes Kapitel: Das System 
[§3 
so erhält man eine gebrochene Linie, welche wir als die empirische Re 
gressionslinie von Y in bezug auf X bezeichnen werden. 
Bei der Betrachtung der empirischen Regressionslinie läßt sich die 
selbe Aufgabe stellen, von welcher wir bei der Betrachtung der apriori 
schen Regressionslinie ausgegangen sind, nämlich (vgl. Viertes Kapitel, 
§ 3, 2.): unter der Annahme, daß die einzelnen mf^-Punkte der gebroche 
nen empirischen Regressionslinie auf einer Kurve liegen, welche die Ge 
stalt einer Parabel /-ten Grades hat, die Koeffizienten der Gleichung der 
Parabel durch die Parameter m, (i' und r auszudrücken. Die mathe 
matische Behandlung dieser Aufgabe unterscheidet sich formell nicht 
von derjenigen des § 3 des Vierten Kapitels. Die Aufgabe bietet aber 
kein größeres statistisches Interesse im Falle der empirischen Regres 
sionslinie. Selbst wenn einander zugeordnete empirische Werte der 
Variablen X und Y tatsächlich so beschaffen sind, daß alle ra^'-Punkte 
genau auf einer Parabel nicht allzu hohen Grades liegen, vermag doch 
der Statistiker hieraus keine wertvollen Schlüsse zu ziehen: er muß ja 
stets darauf bedacht sein, daß dies auf Zufälligkeiten zurückgehen kann und 
das Heranziehen von weiteren Paaren der empirischen Werte von X und 
von Y die scheinbare Einfachheit des Verlaufs der Linie aufheben würde. 
Bei der Betrachtung der empirischen Regressionslinie konzentriert 
sich vielmehr das Interesse auf der Auffindung der Gleichungen einer 
solchen Geraden oder einer solchen relativ einfach aussehenden Kurve, 
welche die Gesamtheit der in Betracht kommenden Punkte am besten 
im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate darzustellen vermag, wo 
bei man von vornherein damit rechnet, daß die einzelnen Punkte nicht 
alle auf der Kurve liegen werden, sondern sich in größeren oder kleine 
ren Abständen unregelmäßig um sie herum gruppieren werden. Es sei 
also die Aufgabe gestellt, eine Gerade so zu ziehen, daß der gewogene 
Durchschnitt der zweiten Potenzen der Differenzen zwischen den wah 
ren Durchschnittswerten aller einzelnen Xi- Reihen und den entsprechen 
den^ Werten, welche nach der Gleichung der Geraden berechnet werden, 
möglichst gering sei (vgl. Viertes Kapitel, § 3, 4.). Schreibt man die 
Gleichung der Geraden in der Form 
so führt die Bedingung, daß die Summe 
s p'„ [ m< 'i - A ',o— A 'n *<J 
möglichst gering sei, zu Gleichungen 
m n .. — A.„—m' 1[0 A' n = 0, m[ n - 
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Hieraus erhalten wir 
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