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§ 2] auf Grand empirischer. Werte
der empirischen Werte der Variablen — TJ' —, welche die Bedingung er
füllt, daß ihre mathematische Erwartung gleich TJ ist. Der zahlen
mäßige Wert von TJ', welcher sich ergibt, falls jdie vorliegenden empiri
schen Werte von X und von Y in die zur Definition von TJ' dienende
Formel eingesetzt werden, wird als ein Näherungswert oder, wie wir viel
mehr sagen wollen, als ein Präsumptivwert von U betrachtet. In jedem
Einzelfalle kann der numerische Wert von TJ' mehr oder weniger von
dem Werte von TJ abweichen, wobei der Spielraum solcher zufälligen
Abweichungen durch die Größe des mittleren Fehlers von TJ' gekenn
zeichnet wird. Aber im Durchschnitte werden diese zufälligen Abwei
chungen, die bald nach der einen, bald nach der anderen Seite aus-
schlagen, sich gegenseitig kompensieren; im großen und ganzen werden
wir bei unseren Schätzungen das Ziel am sichersten treffen, wenn wir
uns dauernd an dieses Schätzungsverfahren halten. Man nehme z. B.
an, daß aus einer geschlossenen TJrne N Kugeln gezogen werden, wobei
die weiße Kugel w-mal erscheint. Der Präsumptivwert der unbekannten
Wahrscheinlichkeit p, eine weiße Kugel aus dieser Urne zu ziehen, kann
gleich ^ gesetzt werden sowohl in dem Falle, wenn jede gezogene Kugel
in die Urne zurückgeworfen wird, bevor die nächste Ziehung stattfindet,
wie auch in dem Falle, wenn die gezogenen Kugeln in die Urne nicht
zurückgelegt werden: denn unter beiden Annahmen stellt sich die
mathematische Erwartung von ^ bei jeder Zahl der Ziehungen genau
gleich p. Wollen wir nun das Experiment der W-Ziehungen aus einer
Urne ¿-mal wiederholen, wobei wir entweder die gezogene Kugel stets
in die Urne zurückwerfen, bevor die nächste Ziehung stattfindet, oder
die gezogenen Kugeln erst nach dem Abschluß jeder Serie von W-Ziehun-
gen in die Urne zurücklegen. Es seien: n x die Zahl der bei der ersten
Serie von W-Ziehungen erschienenen weißen Kugeln, n 2 die Zahl der
bei der zweiten Serie erschienenen weißen Kugeln usw. Laut dem uns
als Leitsatz dienenden Gesetz der großen Zahlen wird bei hinreichend
großem t zwischen + • • • + ^J un d der gesuchten apriorischen
Wahrscheinlichkeit p kein großer Unterschied bestehen. Wenn wir also
den Präsumptivwert von p dem Verhältnisse der Zahl der weißen Ku
geln zur Gesamtzahl der Ziehungen gleichsetzen, so laufen wir zwar in
jedem Einzelfalle die Gefahr, daß unsere Schätzung mit einem gewissen
zufälligen Fehler behaftet sein wird und der von uns angenommene
Präsumptivwert entweder größer als p oder geringer als p ausfällt. Aber
auf die Dauer werden wir doch am besten fahren, falls wir bei unseren
Schätzungen in dieser Weise vorgehen.
Die Berechnung des mittleren Fehlers von TJ' gestattet uns hierbei,
den Spielraum der zufälligen Fehler, mit welchen die Einzelschätzungen
behaftet sind, abzustecken. Werden die gezogenen Kugeln in die Urne
zurückgelegt, bevor die nächste Ziehung stattfindet, so stellt sich der
Tschuprow, Korrelationstheorie 6