76 Sechstes Kapitel: Schätzung apriorischer Größen [§ 2
mittlere Fehler der Quote der weißen Kugeln bekanntlich auf
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Falls die gezogenen Kugeln in die Urne nicht zurückgelegt werden, stellt
er sich auf —
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N
wobei A die Gesamtzahl der Kugeln in der Urne beim Beginne des Ex
perimentes bezeichnet. Werden die gezogenen Kugeln nicht zurück
gelegt, so gestaltet sich demnach die Schätzung sicherer als im Falle,
wenn sie in die Urne zurückgelegt werden, bevor die nächste Ziehung
geschieht, und die Sicherheit der Schätzung nimmt mit der Zunahme
von N im ersten Falle schneller zu. Wird N ~ A, so wird in diesem Falle
g ~—0 und die Schätzung erscheint als ganz sicher: wenn alle Kugeln aus
der Urne gezogen werden, so können wir selbstverständlich ganz sicher von
der Quote der weißen Kugeln auf die Größe der Wahrscheinlichkeit p
schließen.
2. Außer diesem Schätzungsverfahren wird vielfach zu einem gröbe
ren gegriffen, welches sich in bezug auf die zu verwendende Funktion
der empirischen Werte U' mit der Forderung begnügt, daß die mathe
matische Erwartung von U' der gesuchten apriorischen Größe U mit
der wachsenden Zahl der Versuche asymptotisch zustrebe, und auf die
weiter gehende Forderung verzichtet, daß die mathematische Erwar
tung von U' bei jeder endlichen Zahl der Versuche der apriorischen
Größe U gleich sei. Der zahlenmäßige Wert einer so beschaffenen Funk
tion U', welchen sie nach Einsetzen der vorliegenden empirischen Werte
von X und Y erhält, wird als der Präsumptivwert von U betrachtet.
Begründet wird diese Schätzungsweise durch den Hinweis darauf, daß
bei einer einigermaßen großen Zahl von Versuchen der Wert der mathe
matischen Erwartung von U' vom richtig geschätzten Präsumptiv-
werte von U nicht stark abweichen könne, da die beiden bei unendlich
groß werdender Zahl der Versuche zusammenfallen, und daß folglich
die mathematische Erwartung von U' als ein Näherungswert des rich
tigen Präsumptivwertes von U gelten dürfe.
Mit besonderer Vorliebe wird dieses Verfahren in der Form angewandt,
daß zur Schätzung einer Funktion der apriorischen Wahrscheinlichkeiten
dieselbe Funktion der entsprechenden statistischen Häufigkeiten ge
braucht wird, wobei man von dem Gedanken ausgeht, daß die nume
rischen Werte der beiden Funktionen bei einer hinreichend großen An
zahl von Versuchen nicht allzu weit auseinandergehen können, da die
Häufigkeiten den ihnen zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeiten als
Grenzwerten bei zunehmender Versuchszahl zustreben. So wird z. B.
als Präsumptivwert der apriorischen Mean square Contingency (vgl.