Art. 107—110. 
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genügen, so sind Summen, Differenzen und Reziproke von „Vektoren": 
+ h x i + ••• + ipXp, 
Infolgedessen Avird zu drei verschiedenen Vektoren a, b, c durch die 
Formel der Harmonie (s. I 107 S. 33) 
2 
d — c 
stets ein vierter harmonischer Vektor d eindeutig bestimmt. Dem 
nach bilden diese Vektoren die Elemente einer harmonischen linearen 
Geometrie. Für p > 1 ist dieselbe nichtinvolutorisch, denn es gehört 
z. B. zu a = 1, b = 0, c = — 1, et — i 1} b' = 1 — 2/ 2 die sechste 
involutorische Größe: 
l 
c 
2 
welche aber kein Vektor mehr ist. 
Anmerkung: Man kann die Elemente dieser Geometrie auch 
durch die Punkte eines Euklidischen Raumes von mehr als zwei 
Dimensionen repräsentieren, Avenn inan vier Punkte A, 13, C, I) har 
monisch*) nennt, die so auf einem Kreise liegen, daß \CD\ durch 
den Pol von [AB | geht. 
Dagegen bilden unter derselben Festsetzung z. B. die Punkte der 
Ebene oder der Kugel eine lineare involutorische Geometrie. 
110. Satz: In einer ebenen Desarguesschen Koordinaten-Geo 
metrie gilt der Pascalsche Satz (60) dann und allgemein nur dann, 
wenn in dem zugrunde liegenden Zahlensystem das kommutative Gesetz 
der Multiplikation gilt. 
Beweis: Es sei (nach 83) 
also 
u = (0,0,1) ¿’=(0,1,1) Ä t = (1,0, 1) ¿, = (1,1,1), 
C = (0, /1,1), A 4 s 0, 4= 1, 
(\ — (1 > f 1 J 1 ) 7 ^ 4= 0, 4= 1. 
Dann wird: 
(\AB,\, [A X B\) — (1,1, 2), 
l 
l’ ft —l 
‘) s. Möbius, Werke Bd. II p. 200.