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IT. Projektive Geometrie. 
also auch 
A> A> ft, Gft'ftHAA])- 
Andererseits sind 
A A JR TP 
harmonisch, demnach ist 
ft = ([<?'ft][A Al), <1- h. ft - (KAI№ G'l) - ft. 
Nun ist 
£ - (ft ft AA), = (ft ft AA) 
also 
oder 
Sollte aber z. B. 
also 
sein, so ist 
also 
denn es wird 
¿*1 | = - 1; 
G bi "4~ ^2 
0. 
É1 
^ = (■H 2 F 2 A 0 A 2 ) = 0, 
77 2 = A 
^ = 0, 
136. Satz: F ür eine ebene Geometrie ist das Bestehen des 
Desarguesschen Satzes die notwendige und hinreichende Bedingung 
für die Einführbarkeit von Koordinaten. 
Beweis folgt einerseits aus 84, andererseits aus den Entwick 
lungen von 113 bis 135. 
137. Satz: F ür eine ebene Geometrie ist das Bestehen des 
Desarguesschen Satzes die notwendige und hinreichende Bedingung 
dafür, daß sie Schnitt einer räumlichen Geometrie ist.*) 
Beweis ergibt sich einerseits aus 58, andererseits kann man nach 
113 bis 135 in die ebene Desarguessche Geometrie Koordinaten ein 
führen und alsdann die aus demselben System zu bildende räumliche 
Geometrie der Punkte (x 0 , x x , X 2 , x 3 ) betrachten; von dieser ist die 
ebene Geometrie der sich für x 3 = 0 ergebende Schnitt. Mehr geo 
metrisch beweist man dasselbe, indem man als „Raumgerade“ jedes 
Geradenpaar | ©'($"] der betrachteten Ebene, als „Raumpunkt“ jedes 
*) Tn affiner Spezialisierung d. h. unter Hinzunahme des Parallelen-Axioms 
bewiesen bei Hilbert, Grundlagen der Geometrie § 30.