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II. Projektive Geometrie. 
der Multiplikation nickt benutzt, so ist der Satz vom Desarguesschen 
Satze allein abhängig. Für räumliche Schließungssätze gilt nach 148 
dasselbe; man kann aber auch jeden räumlichen Schließungssatz 
folgendermaßen auf einen ebenen zurückführen. Man nehme die drei 
Elemente E, 0, 0', so daß sie weder unter sich noch mit irgend 
welchen Elementen der räumlichen Figur koinzidieren. Jeder Punkt 
P der Figur wird durch das Punktpaar P' = (| O'P | E), P" = ([ 0"P] E) 
der Ebene E, jede Gerade G5 durch das Geradenpaar G)' = [ { O'Gl} E], 
&" = [{0"G5} EJ der Ebene E repräsentiert, jede Ebene durch irgend 
drei ihrer Punkte, die nicht in einer Geraden liegen. Jede Koinzidenz 
im Räume besteht entweder darin, daß vier Punkte P, Q, P, S (oder 
zwei Gerade G5 = [PQ], & = [PS]) in einer Ebene liegen, oder sie 
ist aus solchen Koinzidenzen zusammengesetzt. Sie kommt also auf 
ebene Koinzidenzen in E von der Art zurück, daß die drei Punkte 
(Gr.jp"), ([0'0"]E) in einer Geraden liegen. 
139. Durch die Hinzunahme des Pascalschen Satzes wird die in 
113 bis 130 begründete Rechnung mit Würfen dahin vervollständigt, 
daß nunmehr beliebige Würfe in bezug auf Gleichheit und Ver 
schiedenheit verglichen werden können. Dazu dienen die folgenden 
Definitionen und Sätze: 
140. Definition: Unter einem Wurf werden vier beliebige 
Punkte einer Geraden verstanden. Zwei Würfe ABCD, A i B l C 1 D i 
heißen perspektivisch erster Ordnung, wenn [AA t ], [PP X ], [CPJ, 
[PPJ durch denselben Punkt (PJ (das Perspektivitätszentrum) gehen, 
in Zeichen: {ABCD) J\ {A l B 1 C 1 D 1 ). Sind zwei Würfe einem dritten 
perspektivisch erster Ordnung, so sind sie unter sich perspektivisch 
zweiter Ordnung usw. Zwei Würfe können zugleich von zwei ver 
schiedenen Ordnungen perspektivisch sein. Zwei Würfe heißen gleich, 
wenn sie von beliebiger Ordnung perspektivisch sind. Diese Definition 
ist zulässig, wenn der „Fundamentalsatz der projektiven Geometrie“ 
besteht: 
141. Satz: Sind zwei Würfe ABCD und A DC'D' gleich, so 
wird durch jede Folge von Perspektivitäten, welche ABC resp. in 
A B C überführt, auch D in D' übergeführt. 
Beweis: Dieser Satz ist wie jeder Schließungssatz nach 138 auf 
Grund des Desarguesschen und des Pascalschen Satzes rechnerisch 
beweisbar. Einen rein-geometrischen Beweis desselben Satzes gab 
Schur*) auf Grund der folgenden Hilfssätze: 
*) Math. Ann. 51 (1899). — Der hier für den entscheidenden Satz 143 gegebene 
Beweis ist wesentlich anders und erheblich einfacher als der entsprechende bei Schur.