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III. Projektive Geometrie. 
Beweis: Für vier in einer Geraden liegende verschiedene Punkte 
A, 5, C, D werde folgendermaßen eine Anordnung festgesetzt. Es 
werde eine Koordinatentransformation vorgenommen, bei welcher 
A = (1000), C = (0100), ferner zwei beliebige Punkte, mit AC in 
keiner Ebene, = (0010) und = (0001), ein beliebiger Punkt 
der Ebene {5,(0010), (0001)}, in keiner der Geraden |5(0010)], 
[5(0001)], [(0010) (0001)], gleich (1111), also 5 = (1100) wird. 
Wird dann 5 = (x, y, 0, 0), so ist x =}= 0, man kann also y = p, 
JD = (1, p, 0, 0) setzen, und es ist p =}= 0, =}= 1, so daß einer der drei 
Fälle statthat: 
1) P < 0, 2) 0 < < 1, 3) 1 < p. 
Im ersten Fall sagen wir: es sind BI) und AC getrennt, im zweiten 
Fall: es sind CI) und ^45 getrennt, im dritten Fall: es sind AI) und 
BC getrennt. Jede beliebige Transformation: 
x = a 0 x + b 0 y + c 0 z + d 0 t 
y' = a x x + b t y + c x z + (\t 
z' = a 2 x + b 2 y + c 2 z -f d 2 t 
t' = a. 6 x + b 3 y + c 3 z + d 3 t, 
bei welcher A, 5, C dieselben Koordinaten erhalten, hat die Form 
x = x + c 0 z + d 0 t 
V = y + C x z + d x t 
Z = C. 2 z + d 2 t 
= c 3 z + d 3 t, 
so daß auch I) dieselben Koordinaten (1, p } 0, 0) erhält. Bezeichnet 
man die Koordinatenquadrupel (10 00), (1 1 0 0), (0 1 0 0), (lpOO) 
kurz mit 0, 1, oo, _p, so ist zu zeigen, daß jede Transformation von 
irgend dreien der A, 5, C, D in 0, 1, oo zu derselben Anordnung von 
A, 5, C, D führt. 
Die Transformation 
führt A, 5, C, D über in oo, 1, 0, 1 ; ist nun p < 0, so ist auch 
<0, also 55 und AC getrennt; ist 0<p<l, so ist ' > 
also CD und ^45 getrennt; ist 1 < p, so ist 0 < 1 <1, also AD 
und BC getrennt; in Übereinstimmung mit den früheren Festsetzungen.