Einleitung. 
1. Mit dem Begriff der Geraden ist der Grundsatz: zwei ver 
schiedene Punkte haben eine Verbindungsgerade, untrennbar ver 
bunden. Denn wir erzeugten die Gerade als Punktmenge, indem wir 
zu den beiden gegebenen Punkten in bestimmter Weise weitere Punkte 
binzunabmen. Sollte es sieb als unmöglich heraussteilen, in der vor 
geschriebenen Weise weitere Punkte der Geraden anzugeben, so würde 
die Gerade lediglich aus den zwei gegebenen Punkten bestehen; aber 
der Grundsatz selbst bleibt hiervon unberührt. Nimmt man z. B. be 
liebig viele Punkte im Baume an, von denen keine vier in einer Ebene 
liegen, und definiert jedes Punktpaar als Gerade, jedes Punkttripel als 
Ebene, so sind der angegebene Grundsatz und die übrigen Verbindungs 
grundsätze erfüllt; aber jede Gerade bat nur zwei Punkte, jede Ebene 
nur drei Punkte, solange nicht das Bestehen der Schnittgrundsätze 
gefordert wird. Diese Schnittgrundsätze kamen auf den einen einzigen 
zurück: 
Zwei verschiedene Geraden einer Ebene haben einen Schnittpunkt. 
Dieser Grundsatz ist also nach dem vorhergehenden oder auch 
nach II 11 (S. 57) unabhängig von den Verbindungsgrundsätzen. 
2. Etwas anderes ist die Frage, ob dieser Schnittgrundsatz als 
Erfahrungstatsache angesehen werden darf. Diese Frage ist zu ver 
neinen. Denn wenn man auch meistens bemerkt, daß zwei verschie 
dene Geraden einer Ebene einen Schnittpunkt haben, so begegnet man 
doch auch ebenen Geradenpaaren, die sich nicht in der Zeichenebene 
schneiden, bei denen also über die Existenz oder Nichtexistenz eines 
Schnittpunktes nichts Bestimmtes ansgesagt werden kann. Demnach 
ist die bisher gemachte Annahme, daß ein solcher Schnittpunkt stets 
vorhanden ist, als Hypothese anzuseben, neben die sich gleichberech 
tigt die andere stellt: Es gibt ebene Geradenpaare ohne Schnittpunkt. 
Bei Annahme der ersten Hypothese besteht, wie wir in der projek 
tiven Geometrie gesehen haben, ein vollkommener Dualismus für die 
Sätze des Verbindens und Schneidens, da ein solcher Dualismus be