Art. 12—24. 177 
19. Satz: Eine eigentliche Gerade $ = [AB | und eine un 
eigentliche Ebene E = {PQB) haben genau einen Schnittpunkt. 
Beweis: Man bestimme nach 11 die eigentliche Ebene {JP(§5}, 
nach 7 die uneigentliche Gerade [QB], nach 18 den Schnittpunkt 
/S=({P($} [QR\), nach 7 die Gerade [$P|, nach 17 den Schnitt 
punkt ([$P]($); dies ist der gesuchte. 
20. Satz: Eine eigentliche Ebene A und eine uneigentliche 
Ebene {PQR} haben genau eine Schnittgerade. 
Beweis: Man bestimme nach 7 die Geraden \PQ], [PB], nach 
18 die Punkte (A \PQ\), (A |"PB]), nach 6 oder 7 die Gerade 
[(A [PQ]) (A[PP])]; dies ist die gesuchte. 
21. Satz: Eine uneigentliche Gerade [AB] und eine uneigent 
liche Ebene E haben genau einen Schnittpunkt. 
Beweis: Man bestimme nach 20 die Schnittgerade [AE|, lege 
durch einen eigentlichen Punkt 0 die eigentliche Ebene {0|AE]) = A 
(nach 11), dann ist der Schnittpunkt ([AA||BA]) nach 17 zu be 
stimmen. 
22. Satz: Zwei verschiedene uneigentliche Ebenen E, A haben 
genau eine Schnittgerade. 
Beweis: Es seien A, B eigentliche Ebenen; man bestimme nach 20 
|AE|, |AA|, |BE], [BA|, dann nach 17 die Punkte (|AE| [AA]), 
(| BE | | B A |) 7 dann nach 7 die gesuchte Schnittgerade: 
[([AE][AA]) ([BE] [B A])]. 
23. Satz: Di •ei Ebenen A 7 B 7 f”, die nicht durch eine Gerade 
gehen und die nicht alle drei eigentlich sind, haben genau einen 
Schnittpunkt. 
Beweis: Man bestimme, eventuell nach 20 oder 22, die Schnitt 
gerade | B T], dann nach 18 oder 19 oder 21 den gesuchten Schnitt 
punkt (A [B T ]) = (ABQ. 
24. Damit ist die Gültigkeit der sämtlichen ebenen und räum 
lichen Verknüpfungsgrundsätze nachgewiesen. Für die Ebene allein 
erhält man dies Resultat, indem man alle eigentlichen Punkte P und 
Geraden & derselben mit einem außerhalb derselben liegenden Punkte 
0 verbindet. Dann wird auch jedem uneigentlichen Punkte (($§) 
eine eigentliche Gerade von 0, nämlich [{0©} {0,£)}| und jeder 
uneigentlichen Geraden [(($$§)(©, § t )] eine eigentliche Ebene von 0, 
nämlich {| { 0(^5} { O.'p}] [ { 005, } {0^}]} zugeordnet, und das Be 
stehen der ebenen Verknüpfungssätze folgt aus dem Bestehen dieser 
Sätze im Bündel, welches ja nach 4 keine uneigentlichen Elemente 
enthält. Will man für die Geometrie der Ebene ohne Bezugnahme 
V ah len, Abstrakte Geometrie. 
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