Full text: Abstrakte Geometrie

Art. 86—92. 
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89. Definition: Wir betrachteten bisher parallele Tensoren 
oder Dehnungen als identisch. Nunmehr wollen wir dieselben nur 
dann als identisch betrachten, wenn sie sich auf denselben festen 
Punkt S beziehen. Solche Tensoren oder Dehnungen sollen „ge 
bundene“ heißen; demgegenüber heißen die früher betrachteten „freie“. 
Ein Vektor ist als ein aii einen uneigentlichen Punkt gebundener 
Tensor, ein uneigentlicher Tensor, anzusehen. 
90. Satz: Das Produkt gebundener Tensoren (s. 78) ist ein 
gebundener Tensor. 
Beweis: Es seien zwei an die Punkte S x , S 2 , die auch uneigent 
lich sein können, gebundene Tensoren A 1 AS 1 , A 2 AS 2 gegeben. Man 
konstruiere 
-4-12 > B 2 , B x2) ^4? ^12 
aus 
A X2 A X S 2 = B X2 B X S 2 = B 2 BS 2 = A 2 AS 2 , B x BS x = A i AS 1 . 
Dann ergibt der Desarguessche Satz aus den Dreiecken AA X A X2 , 
BB X B X2 , daß sich [AA X2 ], [BB 12 ] in demselben Punkte S X2 von 
[Ä x S 2 ] schneiden, und es ist A X2 AS X2 — B x2 BS X2 das Produkt der 
gegebenen Tensoren. 
91. Satz: Die Multiplikation gebundener Tensoren (s. 90) ist 
stets assoziativ, aber kommutativ nur, wenn beide uneigentlich sind. 
Beweis: Das Letztere ergibt sich unmittelbar; denn ist 
A x 2 A^ S 2 — A 2 A S 2 , A 2 j A 2 S x = A x A S x , 
so ist A 12 = A 2x nur, wenn [A 2 A 2X ] || [AA X ], [A X A 12 ] || [AA X ], also 
S x = ([A 2 A 2X \ [JtMJ), S 2 = ([A x A 2x ] [AA 2 ]), also beide uneigent 
lich sind. 
Das assoziative Gesetz ergibt sich z. B. wie folgt: Es sei 
A 2 AS 2 — A x 2 A X S 2 , A 23 A 2 S 3 — A( x g) 3 A x 2 S 3 , 
dann ergeben die Dreiecke AA 2 A 23 , A X A X2 A^ X2 ) 3 vermittelst des 
Desarguesschen Satzes, daß sich [AA 23 ], [A X A( X2)3 ] in demselben 
Punkte S 23 von [$ 2 $ 3 ] schneiden. Demnach ist 
•^(12)8-^1^23 ~ A 23 AS 23) d. h. -4(i2)3 = -^1(23)- 
92. Definition: Als Summe der gebundenen Tensoren A X AS X , 
A 2 AS 2 wird der Tensor A x + 2 AS x+2 definiert, in welchem 
Si +2 -(№SJ[-i([AS*n^Si]}]) 
A 1+1 = ([J,A] 
ist. Diese Definition ist zulässig, da der Satz besteht:
	        
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