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IY. Affine Geometrie. 
unserer Nicht-Desarguesschen Geometrie, wenn man in ihr die 
Strecken auf den Nicht-Desarguesschen Geraden in der gewöhnlichen 
Weise mißt. 
Nicht-Euklidische affine Geometrie. 
Für diese ist der Grundsatz charakteristisch: 
102. Grundsatz: Auf jeder eigentlichen Geraden liegen mehrere 
uneigentliche Punkte; also in jeder Ebene mehrere uneigentliche Gerade, 
im Raume mehrere uneigentliche Ebenen. D. h. wenn wir jetzt die 
Ausdrucksweise „uneigentlicher Punkt“ fallen lassen und zur ursprüng 
lichen Bedeutung derselben zurückkehren: 
Zu jeder Geraden © gibt es durch einen Punkt P außerhalb der 
selben in der Ebene {P @} mehr als eine sie nicht schneidende 
Gerade. 
Hier ist die Bemerkung zu 36 entsprechend zu wiederholen. 
103. Wir führen zunächst nach III150 S. 136 Koordinaten ein, wobei 
natürlich auch die uneigentlichen Elemente Koordinaten bekommen, 
und ersetzen nunmehr für die Vorstellung die zu behandelnde Nicht- 
Euklidische Geometrie durch die ihr zugeordnete Koordinatengeometrie. 
104. Auf einer (eigentlichen) Geraden ($ des eigentlichen 
Punktes A wähle man zwei uneigentliche Punkte U 4= V, die nach 102 
vorhanden sind. Für jeden andern eigentlichen Punkt P der Geraden 
sind AP, UV nicht getrennt; also entweder AU, PV getrennt oder 
AV, PU getrennt. Die erstem Punkte sollen mit P, B', ..., die 
letztem mit C, C', . . . bezeichnet werden. Für irgend zwei Punkte 
BB' findet entweder die Folge VUBB' oder VUBB, also z. B. das 
erstere statt. Dann folgt aus VUBB' und VUAB (nach III14 S. 147) 
die Folge VABB'; also tritt niemals die Folge AWBB' oder AB WB' 
auf, denn aus der ersten Folge und ABB' V folgte ebenso AWBV 
(gegen 25 S. 179), und aus der zweiten Folge und ABB'V folgte 
ebenso AWB'V. Also findet stets eine der Folgen 
ABB'W oder AB'BW statt. 
105. Wir wollen Punkte I, J auf der Geraden @ gemäß den 
folgenden Anordnungsbeziehungen suchen: 
Es sei AI, BW getrennt und AJ, CW getrennt für beliebig 
viele eigentliche Punkte B, C (4= A) und für beliebig viele uneigent 
liche Punkte W. 
Dann ist zunächst die Widerspruchslosigkeit dieser Bedingungen 
nachzuweisen.