Art. 108—112. 
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jeder Grenzpunkt einer Geraden ist Grenzpunkt jeder durch ihn 
gehenden Geraden. 
Beweis (s. Fig., in welcher die eigentlichen Teile der Geraden 
stark gezeichnet sind): Angenommen ein Grenzpunkt Y der Geraden Q 
sei ein von einem Grenzpunkt verschiedener uneigentlicher Punkt der 
Geraden @ = [IJ]. Es sei H ein eigentlicher Punkt von Die 
Halbgerade [H Y | ist die Gesamtheit der von einem uneigentlichen 
Punkte durch HY getrennten eigentlichen Punkte. 
Es sei U irgend ein uneigentlicher Punkt von 
[IJ], z. B. getrennt von J durch IY oder U = I. 
Wir behaupten: Die Gerade [HU] wird von keiner, 
die Halbgerade [HY] schneidenden Geraden [ JV] 
in einem uneigentlichen Punkte geschnitten. An 
genommen nämlich, es gäbe einen solchen uneigent 
lichen Punkt V, so wäre auch jeder von H durch 
VU getrennte Punkt uneigentlich, also schnitte 
auch jede von [JH] durch [JV] [JU] getrennte 
Gerade die Gerade |HU] in einem uneigentlichen 
Punkte. Nun werde durch einen eigentlichen 
Punkt G von © die Gerade |ii6r] gezogen. Schneidet jede Gerade 
von J, welche die Halbgerade \HY \ schneidet, die Gerade [GH] in 
einem eigentlichen Punkte, so werde irgend eine derselben mit G t 
bezeichnet. Andernfalls sei G t ein solcher eigentlicher Punkt von 
[GH], daß kein von H durch G t G getrennter Punkt uneigentlich 
ist und daß [1G X \ die Halbgerade [HY] trifft. Nunmehr schneidet 
jede Gerade von J, welche von [JH] getrennt ist durch [ JG t ], [ JG], 
die Gerade [GH \ in einem eigentlichen Punkte. Die vier Geraden 
| JH], [JVj, [J6rJ, [JI] haben nun entweder diese oder die Reihen 
folge [JH], | JG X \, [JV], | JI]. Im ersten Fall liegen auf der Ge 
raden [JG 1 \, im zweiten auf der Geraden | JV] der uneigentliche 
Punkt J, der eigentliche Schnittpunkt mit der Halbgeraden [HY], der 
uneigentliche Schnittpunkt mit [HG], der eigentliche Schnittpunkt 
mit [HG\ in dieser Reihenfolge, nämlich derjenigen der Punkte J, Y, 
p. 276) glaubt den Satz daraus schließen zu können, daß bei einer Bewegung 
uneigentliche Punkte in uneigentliche, eigentliche in eigentliche übergehen; was 
Lie (Theorie der Transformationsgruppen III, Leipzig 1898, p. 810) mit Recht für 
unzulänglich erklärt. Denn es folgt daraus nur, daß jeder Grenzpunkt in einen 
Grenzpunkt übergeht (108), nicht daß ein Grenzpuukt einer Geraden zugleich 
Grenzpunkt jeder durch ihn gehenden Geraden ist. — Hilbert (Neue Begründung 
der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie, Math. Ann. 1903, 57 p. 137 = Grund 
lagen der Geometrie, 2. Aufl., Leipzig 1903, p. 107) übergeht den Beweis dieses 
Satzes.