Art. 167—172.
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so soll 5193 < 5i;£} folgen. Sei K der Grenzpunkt von
£-(®[7 0 ü:]), F = (ß[jTKi),
U die Grenzgerade von I 0 , 77 = (1193), V= (U®). Da D auf 93 liegt,
so findet die Reihenfolge UI BO, also U, [Z 0 J], \I 0 B\ — | I 0 J], [J 0 O],
und ebenso U, [.I 0 J], [I 0 E] = [I 0 K], [J 0 O] ; also (nach 111,14 S. 147)
die Reihenfolge 11, |/ 0 Z], [I 0 K\, |J 0 Ö], also UIEO statt; also
liegt E zwischen 0, I, d. h. auf der Halbgeraden 93, also ist 9193 <51®,
was zu beweisen war.
170. Definitio nen: Sind 91, © zwei Halbgerade eines Punktes
0 in verschiedenen Halbebenen einer Ebene der Halbgeraden 93 von
0, so heißt der Winkel 51® die Summe der beiden Winkel 5193 und
93®; und ist @$ = 5(95, @'$' = 93®, @"$"=51®, so heißt auch
@"$" die Summe der beiden Winkel @$ und @'$'. Diese Defini
tion ist zulässig, denn es gilt der Satz:
171. Satz: Summen resp. gleicher Winkel sind gleiche Winkel.
Beweis: Sei 9193 = 51'93', 93® = 93'®', 51, 93, ® Halbgerade eines
Punktes und in einer Ebene, ebenso 91', 93', ®'; 9391} + 53®} und
93'91'} 4= 93'®'}. In einer Affinität, in welcher der Halbgeraden 93
die Halbgerade 93', der Halbebene 9351} die Halbebene 93'51'}, also
auch der Halbebene 93®} die Halbebene 93'®'} entspricht, muß wegen
9391 = 93'51' nach 162 auch der Halbgeraden 91 die Halbgerade 5t',
und wegen 93® = 93'®' der Halbgeraden ® die Halbgerade ®' ent
sprechen, also muß 91® = 51'®' sein, was zu beweisen war.
172. Satz: Die Winkel bilden eine linear geordnete Gruppe
mit assoziativer und kommutativer Multiplikation. Die Winkel 5151
mit koiuzidierenden Schenkeln und keine anderen sind als Null an-
zusehen.
Beweis: Zunächst folgt das assoziative Gesetz aus
(5l93 + 53®) + ®2) = 9l® + ®$> = 5t2) = 9l93 + 93$ = 9I93 + (93 ®4-®$),
und das kommutative, mit Rücksicht auf 165 aus:
Aus
folgt
also
5193 + 93® = 51® = ®9l = ®93 + 9351 = 93® + 51®.
5193 + 93® = 5193
91® = 5193
® = 93,
d. h. nur die Winkel 93 93 lassen als Summanden eine Summe un-
geändert. Es ist 9191 = 93 93 nach Definition 167.
