Andererseits sind aber die Begriffe der Strecke und des 
Winkels von der Annahme der uneigentlichen Elemente völlig unab 
hängig, wie z. B. die Geometrie des Bündels erkennen läßt, in welchem 
ja uneigentliche Elemente nicht vorhanden sind. Demnach muß es 
möglich sein, die Theorie dieser Begriffe zu entwickeln, ohne über die 
Existenz oder Nichtexistenz uneigentlicher Elemente eine Voraus 
setzung zu machen. Diese Entwicklung, zu der wir nunmehr über 
gehen, nennen wir die metrische Geometrie. Hier werden die Sätze 
153, 159, 162, 164 als Grundsätze anzunehmen sein. Nimmt 
man dann an, daß keine uneigentlichen Elemente existieren, so er 
hält man die projektivisch-metrische Geometrie. Nimmt man den 
Euklidischen Grundsatz an, daß auf jeder Geraden genau ein uneigent 
licher Punkt liegt, so erhält man die Euklidische metrische Geometrie. 
Nimmt man schließlich mehrere uneigentliche Punkte auf jeder Ge 
raden an, so kommt man zur Nicht-Euklidischen metrischen Geo 
metrie.*) Demnach ist die Euklidische metrische Geometrie von der 
Euklidischen affinen Geometrie wirklich verschieden. Dagegen stimmt 
die Nicht-Euklidische metrische Geometrie mit der Nicht-Euklidischen 
affinen zwar nicht in ihren Ausgangspunkten, aber sachlich überein. 
Die eine beruht auf dem Grundsatz von der Existenz der Affinitäten, 
die andere auf den metrischen Grundsätzen. 
*) Poincares „vierte Geometrie“ (s. Poincare, Wissenschaft und Hypothese, 
Leipzig 1904, S. 47) bleibt außer Betracht, da in derselben der auf der Erfahrung 
beruhende Satz 33 (resp. 35) nicht stattfindet.