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Y. Metrische Geometrie. 
10. Definition: Es gibt im allgemeinen, nämlich wenn un 
eigentliche Punkte nicht vorhanden sind, acht Dreiecke ABC, da 
jede der drei Seiten AB, AC, BC zweideutig bestimmt sind. Nachdem 
die Seiten (nach 2) eindeutig fixiert sind, sind auch die Halbgeraden 
AB], BA\ usw. bestimmt; aber die Winkel BOA usw. sind als 
Winkel zweier bestimmter Halbgeraden CA], CB] immer noch zwei 
deutig. Dieselben sollen nun (nach 7) eindeutig fixiert werden, und 
zwar nach Fixierung der Seiten derart, daß wenn z. B. für die Seite 
AB die kleinere der beiden Strecken AB gewählt wurde, daß dann 
für den Winkel ACB der kleinere der beiden Winkel ACB gewählt 
werden soll. Sind uneigentliche Punkte vorhanden, also die Strecken 
AB, AC, BC eindeutig bestimmt, so sollen als Winkel ACB, usw. die 
kleineren gewählt werden, die also kleiner als gestreckte sind. 
11. Grundsatz: Ist AB = A'B', AC—ÄC, L BAC = BÄC, 
so ist auch L ABC = A'B'C', also auch ¡_ACB~A'C'B. 
Dieser Grundsatz ist unabhängig von allen vorhergehenden. Um 
dies nachzuweisen, betrachte man eine Euklidische Ebene E und pro 
jiziere ihre Punkte und Geraden senkrecht auf eine dazu geneigte 
Ebene E'. Man betrachte zwei Strecken der Ebene E als gleich, wenn 
sie es im gewöhnlichen Sinne des Wortes sind, aber zwei Winkel 
als gleich, wenn ihre Projektionen in E' im gewöhnlichen Sinne des 
Wortes gleich sind. Dann gelten offenbar alle aufgestellten Grund 
sätze, aber nicht 11. 
Dieselbe Überlegung läßt sich in analytischer Form machen und 
dann auf den Raum ausdehuen: Man lege für die Vergleichung der 
Strecken ein rechtwinkliges Koordinatensystem zugrunde, für die 
Vergleichung der Winkel ein schiefwinkliges, in dem man aber die 
Formeln für rechtwinklige Koordinaten anwendet. 
(Vgl. auch die in 61 betrachteten Geometrien.) 
12. Definition: Zwei Dreiecke ABC und A'B'C heißen kon 
gruent (~), wenn AB=A'B', A C= A'(■', BC^B'C, LA BC^ A'B'C, 
L BCA = B'C'A', L CAB = C'A'B' ist.*) 
13. Satz: Ist AB = A'B', AC=A'C', l_BAC=B'A'C, so ist 
BAC^B'A'C. 
Beweis: Nach 11 ist nur noch BC — B'C’ nachzuweisen. Sei 
B’ D'—BC, und inzident B C'. Dann ist (11) LB'ÄC =BAC=B'ÄD', 
also (8) [ÄC']=*[A'D'], C'= //. 
14. Satz: Ist AB = ÄB', LCAB=CÄB', LCBA = C'B'Ä, 
so ist ABC ^ A'B'C. 
*) Man kann auch die Theorie der Kongruenz ohne Benutzung der Winkel 
gleichheit begründen; vgl. Mollerup, Math. Ann. 58 (1904) S. 479.