Art. 10—18. 
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Beweis: Es sei AB' = AC und inzident A'C'- dann ist (11) 
L B'B'A = CBA = C'B'Ä, also (8) [B'B'] = [C'B'], B' = C'. 
15. Satz: Gleiche Winkel haben gleiche Nebenwinkel. 
Beweis: Sei BA=B'A, BB=B'B', BG=B'C', LÄBG^A'B’C', 
so folgt (11): LCAB=C'A'B' und (13) CA=C'A' und. (5) AB=A'B', 
also (11) CADUCAD', also L GBB = G'B'B', CB = C'B', also 
(11) GBB ^ G'B’B’, also L GBB = G'B'B'. 
16. Definition: Sind OA], OB], OC] drei Halbgerade eines 
Punktes und in einer Ebene, und sind die Winkel AOB und BOG 
nicht inzident, so beißt derjenige Winkel AOC, von welchem OB] 
eine Halbgerade ist, die Summe der Winkel AOB und BOG. Die 
Beziehung zwischen diesen Winkeln wird durch 
AOB+ BOC^AOC 
dargestellt, wobei die Auffassung als Addition willkürlich ist. Die 
Winkel-Addition hat die folgende Eigenschaft: 
17. Satz: Summen gleicher Winkel sind gleiche Winkel, d. h. 
aus AOB+ BOG = AOC und ¿ AO B = A 0' B', LBOC=B'0'C' 
soll l_ A 0'G' = AOC folgen, falls auch A'O'C' derjenige Winkel ist, 
dem die Halbgerade O B'] angehört. 
Beweis: Es sei OA= O'A, OB = O'B', also (13) AB = AB' 
und (11) L OBA = 0'BA; es sei ferner C auf [AB], C' auf [AB'J, 
also (15) i OBC = O'B'C', also (14) 0G=0'C', BC=B C' und 
i OCB= O'C'Bso folgt (5) GA = C'A, also (11) LCOA^C'O'A. 
Existieren uneigentliche Punkte, so folgt nach Annahme der 
eigentlichen Punkte A und C, daß B (nach IV 25) eigentlich ist, dann 
daß auch A, B', C’ (nach 3) eigentlich sind. 
18. Satz: Die Winkeladdition ist assoziativ und kommutativ; 
alle Winkel AOB mit OA] — OB\ sind als einander gleich und gleich 
Null anzusehen. Durch die Summe zweier Winkel und den einen 
Summanden ist der andere eindeutig bestimmt. 
Beweis: Es ist: 
(AOB + BOG) + COB = AOC -\- COB^AOB 
= AOB + BOB = AOB + (BOG + COB). 
Mit Rücksicht auf 7 ist: 
AOB+BOC = AOC= COA = COB + BO A = BOC + AOB. 
Aus A OB -f- BOA — A OB folgt ¡_A0X — AOB, also (8) eindeutig 
OX] = OB], d. h. BOB = 0. Aus A0B+ BOX = AOC folgt 
LAOX = AOC, also eindeutig OA] = OC]. Aus A O A -f A OB == 
A OB = A OB + BOB = BOBA- A OB folgt also L AOA = BOB. 
Valilen, Abstrakte Geometrie. 16