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Y. Metrische Geometrie. 
19. Satz: Scheitelwinkel sind gleich. 
Beweis folgt aus 15 und dem letzten Satz aus 18. 
20. Satz: Alle rechten Winkel sind gleich. 
Beweis: Sei BAB^BAB', BAB' in gerader Linie; ferner 
LC 1 A 1 B i = C 1 A 1 B 1 ' und man mache LCAB= C 1 A i B 1 , C auf [BB], 
also auch (15) L CAB' = C 1 A l B i '-, dann ist L CB'A = CB A = DBA 
= BB'A, also (8) 
[B'C] = [B'D], C=B, [AC] = [AI)], L BAG = BAB, 
L B 1 A 1 C 1 = BAG = BAB. 
(C ist eigentlich, weil (s. IY 29 S. 180) zwischen D und B resp. B 
und B' gelegen.) 
21. Dieser Satz ist von Euklid*) als Grundsatz aufgestellt, von 
Legendre**) und Hilbert***) bewiesen worden. Legendre schließt im 
wesentlichen: 
GAB < BAB = BAB' < CAB', 
also kann nicht CAB= GAB' sein. Aber die Einführung des „größer“ 
und „kleiner“ ist hier nicht erforderlich. Crellesf) Bemerkung, der Satz 
sei hier im Gegensatz zu Euklid beweisbar infolge des Grundsatzes: 
Durch zwei Punkte ist genau eine Gerade bestimmt, ist offenbar un 
richtig. Vielmehr ist das Entscheidende am Legendreschen, wie am 
Hilbertschen, wie am obigen Beweise, die Voraussetzung des Satzes 8 
von der Eindeutigkeit des Winkelabtragens. Diesen Satz nimmt 
Euklid nicht als Grundsatz an, konnte daher auch nicht den Satz von 
der Gleichheit der rechten Winkel beweisen. Hilbert hat also Un 
recht, Euklid hieraus einen Vorwurf zu machen. Es entspricht sogar 
mehr unserer Forderung, daß jeder Grundsatz einen möglichst geringen 
Inhalt haben soll, wenn man mit Euklid den Satz von der Gleichheit 
der rechten Winkel znm Grundsatz wählt. Dieser Satz kann näm 
lich als die Eindeutigkeit des Winkelab tragens für rechte Winkel 
aufgefaßt werden, und man kann aus ihm den Satz von der Ein 
deutigkeit des Abtragens beliebiger Winkel folgern. Denn es sei LGAM 
= C'A 31 und man mache MB=AM, L CMA=CMB== einem Rechten, 
AC' = AC, so folgt CMA^GMB, also L CAM = CBM, ferner 
CA = C'A, L CAB = CAB, AB = AB, also CAB ~ C'AB, also 
(71? = C'B, LCBA = C'BA, also CBM^ C'BM, also LC'31B = 
G MB = einem Rechten und CM — CM, also [G r iUJ = \C'M~\, also 
*) Euklidis Elementa ed. Heiberg (Leipzig 1883) I p. 8. 
**) Legendre, Géométrie. Livre I. Théorème 1. 
***) Hilbert, Grundlagen der Geometrie § G, Satz 15. 
f) Legendre, Geometrie, deutsch von Crelle. 4. AuH. (Berlin 1844) p. 5.